数学文化与数学教学(汪晓勤)

汪晓勤石家庄2011-10-12数学文化与数学教学数学文化与数学教学一座宝藏一条进路一缕书香一种视角希腊几何学的鼻祖泰勒斯发现了角边角定理。普罗克拉斯（Proclus,5世纪）告诉我们：“欧得姆斯在其《几何史》中将该定理归于泰勒斯。因为他说，泰勒斯证明了如何求出海上轮船到海岸的距离，其方法中必须用到该定理。”Thales（前6世纪）案例1跨越时空案例1跨越时空泰勒斯在海边的塔或高丘上利用一种简单的工具进行测量。直竿EF垂直于地面，在其上有一固定钉子A，另一横杆可以绕A转动，但可以固定在任一位置上。将该细竿调准到指向船的位置，然后转动EF（保持与底面垂直），将细竿对准岸上的某一点C。则根据角边角定理，DC=DB。EFDCBA案例1跨越时空上述测量方法广泛使用于文艺复兴时期。右图是16世纪意大利数学家贝里（S.Belli,?～1575）出版于1565年的测量著作中的插图，图中所示的方法与泰勒斯所用方法相同。案例1跨越时空有一个故事说，拿破仑军队在行军途中为一河流所阻，一名随军工程师用运用泰勒斯的方法迅速测得河流的宽度，因而受到拿破仑的嘉奖。因此，从古希腊开始，角边角定理在测量中一直扮演者重要角色。案例1跨越时空在抗美援朝战争中，一名志愿军战士利用泰勒斯的方法测量敌营的距离。案例1跨越时空学生在课上演示泰勒斯的方法案例1跨越时空DCBAEABCDDCBA学生在课上给出的测量全等三角形方案案例1跨越时空S1:所有的话题都让学生感兴趣，提高了上课的效率，多年之后故事会永远留在头脑中。S2:不会影响学习成绩，更不会影响学习时间。这样的课在我们理论的基础上多一种知识的了解，而且这个了解不是可有可无的而是有多有少的。在正课当中，无论从哪个角度讲解都会让我们对知识印象更深，增加对知识的理解，当然一定要以正课为主。案例1跨越时空T1:这样的课教师和学生都很感兴趣，很生动，学生的积极性完全调动起来，是数学与实际结合最好的范例。T2:最好能资源共享，多展示几节这样的课，让学生更好地体会数学与生活紧密相关，让学生发现生活中的数学问题，并用学过的知识解决它。如果所有的课都能以这种形式来上，那么学生一定都会喜欢数学课!案例2昔非今比七兄弟分财产，最小的兄弟得2，后一个比前一个多得1/6，问所分财产共有多少？数学泥版MS1844（约公元前2050年）案例2昔非今比649539大麦72171麦穗8019蚂蚁891鸟99人数学泥版M7857（古巴比伦时期）案例2昔非今比•佛陀年轻时代的故事7原子=1极微尘7极微尘=1微尘7微尘=1尘，……………………1里长度中共有717个原子案例2昔非今比•《佛本行集经》卷12：悉达多太子讲授“微尘数”的算法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺。合两半尺，成于一尺，二尺一肘，四肘一弓，五弓一杖。其二十杖，名为一息；其八十息，名拘卢奢；八拘卢奢，名一由旬。于此众中，有谁能知，几许微尘成一由旬？案例2昔非今比七极微为一微量，积微至七为一金尘，积七金尘为水尘量，水尘积至七为一兔毛尘，积七兔毛尘为羊毛尘量，积羊毛尘七为一牛毛尘，积七牛毛尘为隙游尘量，隙尘七为虮，七虮为一虱，七虱为穬麦，七麦为指节……《俱舍论》卷12（玄奘译）案例2昔非今比•斐波纳契《计算之书》（1202）“7翁去罗马，每个人牵着7匹骡子，每匹骡子负7只麻袋，每只袋子装7块面包，每块面包配有7把小刀，每把刀配有7个刀鞘，问老翁、骡子、面包、刀、鞘的总数是多少。”案例2昔非今比•JosseVerniers（1584）士兵问题：一座房子里有14个房间，每个房间有里14张床，每张床上躺着14个士兵，每个士兵有14支枪，每支枪里有14颗子弹。问：共有床、士兵、枪、子弹各多少。案例2昔非今比•Kamp（1877）妇女问题：有12个妇女，每人带有12根棍子，每根棍子上绑有12根绳子，每根绳子上系有12个袋子，每个袋子里装有12个盒子，每个盒子里含有12先令。问：共有多少先令？案例2昔非今比Adams《学者算术》（1801）妻子问题：我赴圣地伊夫斯，路遇一男携七妻；一妻各把七袋负，一袋各装七猫咪。猫咪生仔数又七，几多同去伊夫斯？案例2昔非今比莱因得纸草书（约公元前1650年）124房屋猫老鼠麦穗容积总数74934324011680719607280156021120419607莱因得纸草上的等比数列问题案例2昔非今比21221111nnnnnnnnSaaqaqaqaqaaqaqaqaqSaqSaqaaqSqq57493432301168077174934323017280119607S172144288561284\\埃及乘法127案例2昔非今比《几何原本》第9卷命题35312123212112112112111111nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaqaaaaaqSqq案例3牛刀小试托勒密托勒密分别就空气和水、水和玻璃、玻璃和空气，对光的入射角和折射角进行测量，得出入射角与折射角成正比的错误结论。C.Ptolemy(85-165)案例3牛刀小试阿尔·海森制作仪器，测量入射角和折射角，发现托勒密的结论是错误的，但他自己未能发现折射定律。Al-Haitham(965-1038)案例3牛刀小试维特罗（ca.1270）波兰物理学家、自然哲学家和数学家维特罗在阿尔·海森的基础上进一步研究折射现象，但他仍然同样未能发现折射定律。Witelo(ca.1230-ca.1300)案例3牛刀小试开普勒（1611）开普勒在《折光》（1611）中给出：对于两种固定的媒质，当入射角（i）较小时，入射角和折射角（r）之间的关系是i=nr，（n为常数）。当光线从空气进入玻璃时，n=3/2。J.Kepler(1571-1630)案例3牛刀小试哈里奥特（1601）英国数学家哈里奥特发现了折射定律，但没有发表。T.Harriot（1560-1621）案例3牛刀小试斯内尔（1621）荷兰数学家斯内尔约于1621年独立发现折射定律，但没有发表。哈里奥特和斯内尔都是通过实验得出该定律的，而没有给出理论的推导。W.Snell(1591-1626)案例3牛刀小试笛卡儿（1637）笛卡儿在《折光》（《方法论》之附录）中发表了折射定律，但遗憾的是，他的证明却是错误的！笛卡儿是否抄袭了斯内尔，学术界尚有争议。R.Descartes(1596-1650)案例3牛刀小试费马费马对笛卡儿的折射定律进行了攻击。错误的推导怎么会得出正确的结论呢？直到24年后的1661年，费马才利用他的最小时间原理才导出了折射定律。P.Fermat(1601-1665)案例3牛刀小试莱布尼茨（1684）莱布尼茨在他的第一篇微积分论文中，小试牛刀，给出了微分的一个应用：在两种媒质中分别有点P和Q，光从P出发到达Q，界面上入射点O位于何处，光用时最短？G.W.Leibniz(1646-1716)案例3牛刀小试xbaOBArid-xxyQP22221212222212sinsin110bdxaxfxvvvirvxdxfxvvaxbdx莱布尼茨：“熟悉微积分的人能够如此魔术般地处理的一些问题，曾使其他高明的学者百思而不得其解！”案例4史海拾贝axbaxbcxf2)(2222洛必达：《无穷小分析》中的问题数学文化与数学教学一座宝藏一条进路一缕书香一种视角2一条进路在数学教学中，我们总是在不断地回答“为什么”。为什么等腰三角形两底角相等？（驴桥定理）为什么是无理数？（不可公度量的发现）为什么？（均值不等式）为什么正整数和（正）偶数是一样多的？（实无穷）为什么函数是奇函数？2ln1fxxx20,02baabba2一条进路为什么要将圆周分成360度？（即，为什么在角度制里，要将圆周的1/360作为度量角的单位？）为什么？为什么平面直角坐标系将平面所分成的四个部分叫“象限”？为什么将幂指数称为“对数”？为什么某些函数被称为“奇函数”和“偶函数”？为什么称未知数为“元”？12一条进路•1年＝360天；•60进制；•迦勒底人将黄道圆分成12宫，每一宫分成30等分；•Hypsicles(c.180B.C.)将黄道圆分成360等分；•托勒密（Ptolemy,125A.D.）在《天文大成》中使用60进小数，将圆周分成360度，每1度分成60小部分（分），每一小部分再分为60个小部分（秒），等等。为什么要将圆周分成360度？以色列马赛克：黄道十二宫图（6世纪）2一条进路21firstsmallpartspartesminutaeprimaeminute601secondsmallpartspartesminutaesecundaesecond60阿拉伯译文拉丁译文今天2一条进路为什么将幂指数称为“对数”？许凯（N.Chuquet,1445-1488）《算学三部》1248163264128256512…10485760123456789…20•4对应的数16自乘，等于8对应的256；•7对应的128乘以9对应的512，等于16对应的65536。2一条进路施雷伯（H.Schreyber,1495～1525）《艺术新作》（1521）012345…1612481632…65536•第二个数列中两数的乘积对应于第一个数列中两数的和。•第二个数列中三数的乘积对应于第一个数列中三数的和。•第二个数列中平方数的开方对应于第一个数列中偶数除以2。•第二个数列中某数开立方对应于第一个数列中某数除以3。2一条进路斯蒂菲尔（M.Stifel,1487～1567）《整数算术》（1544）012345678…1248163264128256…•等差数列中的加法对应于等比数列中的乘法；•等差数列中的减法对应于等比数列中的除法；•等差数列中的简单乘法对应于等比数列中的乘方；•等差数列中的除法对应于等比数列中的开方。2一条进路克拉维斯(C.Clavius,1538-1612)《实用算术概论》(1583)124816326412825651210242048…01234567891011…•32自乘，得10上面的1024，而10等于32下面的5的两倍；•8乘以256等于11上面的2048，而11等于8和256下面3和8之和。2一条进路纳皮尔（J.Napier,1550～1617）nn3210101101011010110101101077377277777Mirificilogarithmorumcanonisdescriptio(1614):Logarithmisuntnumeriquiproportionalibusadjunctiaequalesservantdiferentias.(Logarithmsarenumberswhichcorrespondtoproportionalnumbersandhaveequaldifferences.)2一条进路薛凤祚（?～1680）《比例对数表》(1653)比例算124816326412825651210242048同余算(a)123456789101112同余算(b)579111315171921232527《数理精蕴》：“对数比例，乃西士若往·讷白尔所作。以借数与真数对列成表，故名对数表。……其法以加代乘，以减代除，以加倍代自乘，故折半即开平方。以三因代再乘，故三归即开立方。推之至于诸乘方，莫不皆以假数相乘而得真数。盖为乘除之数甚繁，而以假数代之甚易也。”2一条进路为什么等差数列被称为算术