高等代数中各类重要概念的历史背景回顾

回顾高等代数历史背景对于学生学习的重要意义内容摘要：高等代数史作为一门历史科学，它描述了高等代数的发展与演变的历史。学习高等代数时，在大多数情况下，人们只是停留在对数学概念和各类方法技巧的掌握，并没有深入地对这些方法技巧背后的历史背景进行了解，因此研究高等代数历史背景对于学生学习的重要意义是有必要的。本文通过列举的形式，阐述了对高等代数史的了解可以提高学生的综合素质，调动学生对高代学习的积极性，提升学生数学修养。关键词：历史背景，数学修养，学习积极性，刻苦钻研，综合素质1.导言高等代数是数学专业的一门主干基础课程，它对学生的抽象思维能力、逻辑推理能力的培养，以及后继的学习起着非常重要的作用。但是，学生在学习这门课程时只顾吸取其中已有知识，仅仅解决了“是什么”的问题，而往往对各类概念研究的历史背景也就是“是怎样得到的”以及以后的发展概况一无所知。高等代数教学内容中,有一些内容表面上是孤立的,但实际上很多这样的内容都有其生动的背景。对各类概念的历史背景进行了解,能提高我们的综合数学修养,会使我们对需要学习的内容得到更加精确与深入的理解,更好的掌握这门课程。下面将通过列举的形式，对高等代数中历史背景对于学生学习的几个重要意义进行了阐述。2.利用欧式空间发展的历史背景诠释数学理论的发展性，培养学生综合素质。在数学发展史上，经常发生着各种形式的变迁：以比较正确的认识代替错误的认识的现象绝不罕见，举一个例子来说：从欧式空间中“距离”的自我扬弃升华到距离空间，直到拓扑空间，这是一个不断深化的过程。一个理论或概念被另一理论或概念所替代，正是人们对高等代数从低级到高级，从片面到全面的认识与发展，并不断拓广高代知识体系，从而把高代推向前进。通过如此生动的例子可以体现出我们政治理论课中《马克思主义基本原理概论》中认识的否定之否定规律，综合体现出唯物辩证法的基本规律。利用高等代数的历史背景，拓宽课堂的界限，培养学生的综合能力，正是我校教育转型改革的重要体现。3.利用回顾高等代数学家的背景激励学生刻苦钻研数学。依笔者拙见，高等代数教学的目的不仅仅是去教会学生如何去考试并取得高分，而且更重要的是让学生获得知识，从中受益，并培养和提高熟练运用数学这一基本工具解决实际问题的能力，培养学生的科学创新精神。与后者比较起来，考得高分只不过是最次要的事情。提及高等代数数学家，大家都会想到一个不会考试的数学家——埃尔米特。埃尔米特是19世纪最伟大的数学家之一，但是他大学入学考试考了5次，每次失败的原因都是数学考不好.他大学几乎没能毕业，每次考不好都是因为数学.他大学毕业后考不上任何研究所，还是因为考不好数学.数学是他一生的至爱，但是数学考试是他一生的噩梦.不过这无法改变他的伟大。课本上的“共轭矩阵”是他先提出来的；人类一千多年来解不出“五次方程式的通解”，是他先解出来的；自然对数的底的“超越数性质”，在全世界，他是第一个证明出来的人。他的一生证明“一个不会考试的人，仍然能有胜出的人生”。通过对高等代数中相关数学家有趣、励志故事的回顾，学生不仅可以从中消除自己高代学习的枯燥感将“要我学”转变为“我要学”，更重要的是从中体会到高代学习的真谛，不再以考试成绩高低作为自己学习的一个标准，只要自己切切实实地学到了东西，踏踏实实地进行了钻研，那么学生们便真正达到了高代学习的目的，也达到了教员的要求和希望。4.了解高代重要概念的历史背景，提高学生数学修养。高等代数教学内容中,有一些内容表面上是孤立的,但实际上很多这样的内容都有其生动的背景。对各类概念的历史背景进行了解,能提高我们的综合数学修养,会使我们得到对教学内容更精确与深入的理解,更好的掌握这门课程。下面以二次型的历史背景为例子：二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那是并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特（j-r.p.hachette）、蒙日和泊松（s.d.poisson，1781~1840）建立的。柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来，他又证明了n个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。1851，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分类方法中他引进了初等因子和不变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论。1858年，维尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个化简也是可能的。维尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双性线性。以上是对二次型历史背景的列举，通过对其历史背景的介绍，学生们可以从中了解到二次型发展、演变过程的来龙去脉，从而实现从“是什么”问题到“是怎样得到”问题的飞跃，这样一来，学生们的数学修养不仅能够在不知不觉中得到提升，学生对二次型也将有更深入的认识和理解，势必会收到学习起来事半功倍的功效。5.结语本文通过对一些高等代数中历史背景的回顾，阐述了了解高等代数历史背景对高代学习的重要意义，笔者从中想要表达的是高代史的了解与高等代数的学习是分不开的。回顾数学概念与数学家的历史背景是我们数学专业学生提高数学修养水平的重要途径，而且，我们也从中提升了自己的综合素质并调动了高代学习的积极性。对高等代数中历史背景的了解将促进我们对数学概念更加深入的理解。笔者希望通过本文让读者提高对高等代数历史背景的重视程度。此外，由于笔者的水平有限，本文仍存在着许多的不足之处，例如例证不够充分参考文献[1]石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社；2003.09：56-57.[2]王明亮.中国学术期刊标准化数据库[DB].[3]胡平,崔文田,徐青川.应用统计分析教学实践案例集[M].北京:清华大学出版社,2007:304-305