尺规作图由来及局限

古希腊三大数学难题组员：聂格、陈一丁、尚莹刘晓梅、姚践红、刘莹问题提出者：雅典巧辩学派的数学研究•倍立方求作一个立方体，使其体积是已知立方体体积的两倍•三等分角•把任意角分成三等份•化圆为方求作一个正方形与给定的圆面积相等倍立方倍立方问题起源于两个神话.厄拉多赛是古希腊著名的科学家、天文学家、数学家和诗人.在他的《柏拉图》一书里，记述了一个神话故事.说是鼠疫袭击了爱琴海南部的一个小岛，叫提洛岛.一个预言者说，他得到了神的谕示：须将立方体的阿波罗祭坛体积加倍，瘟疫方能停息.建筑师很为难，不知道怎样才能使体积加倍.于是去请教哲学家柏拉图.柏拉图说，神的真正意图不在于神坛的加倍，而是想使希腊人因忽视几何学而羞愧.另一个故事也是厄多拉塞记述的.说古代一位悲剧诗人描述克里特国王米诺斯为他的儿子克劳科斯修坟的事.他嫌坟修造得太小，命令有关人必须把坟的体积加倍，但要保持立方的形状.接着又说，“赶快将每边的长都加倍.”厄拉多塞指出，这是错误的，因为边长加倍，体积就变成原来的8倍.这两个传说都表明，立方倍积问题起源于建筑的需要.三等分角三等分任意角的问题来自正多边形作图.用直尺和圆规二等分一个角是轻而易举的.很自然地，人们会提出三等分一个角的问题.但这却是一个不可能用尺规解决的问题.化圆为方•公元前5世纪，古希腊哲学家安娜塞格拉斯因为发现太阳是个大火球，而不是阿波罗神，犯有“亵渎罪”而被判了死刑关进了监狱，在等待执行的过程中，他发现牢房的铁窗是正方形的，而窗外的月亮是圆形的，他不断变化观察的位置发现一会儿圆比正方形大，一会儿圆比正方形小，他就在想，会不会有一时刻，圆的面积与正方形的面积相等呢？这就是著名的“化圆为方”问题的起源.....尺规作图的由来•尺规作图：在几何里，把只用直尺和圆规画图的方法称为尺规作图.•原因之1、古希腊人研究的基本图形是直线和圆，直尺和圆规满足作图需要，同时古希腊几何的基本精神是从极少的假定推导尽可能多的命题，因此对作图工具也限制到不能再少。•原因之2、欧几里得（作图）公设•公设1、由任意一点到另外任意一点可以画直线。•公设2、直线可以任意延长。•公设3、以任意点为圆心及任意的距离可以画圆。•从公设中看出作图工具只限于尺规。•原因之3、毕达哥拉斯学派认为圆是最完美的平面图形，圆和直线是几何学最基本的研究对象，因此规定只使用这两种工具.下面欣赏尺规作图基本案例已知：∠AOBOAB求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC作法：1、在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OEDEC2、分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点CDE213、作射线OCOC就是所求作的角平分线尺规作图的局限性•尺规作图能解决的问题：•（1）二等分已知线段.•（2）二等分已知角.•（3）已知直线Ｌ和Ｌ外一点Ｐ，过Ｐ作直线垂直Ｌ.•（4）任意给定自然数ｎ，作已知线段的ｎ倍，ｎ等分已知线段.•（5）已知线段a,b，可做a+b,a-b,ab,a/b.接着ra也可做，这里r是正有理数.这样做：设r=p/q,p,q都是自然数，因此ra=pa/q.先做a的p倍，再做pa/q，这样ra就做出来了.•如下图：已知线段a可作.如右图，OA=a，以OB为直径作圆.过A作OB的垂直线交圆周于C.OAC与OBC有一个公共角∠COB，由此可得∠OCA=∠ABC.这样一来，我们有，三角形OCA∽三角形ABC.设AC=x我们有aRtRt•从给定的数1，a，b，c....出发以加减乘除和开平方，开4次方，开8次方....得到的所有量构成了有理数域Q或Q的某扩域，这个扩域由Q经有限次添加开平方数得到。•用代数数语言表述：尺规可作的数仅限于一次代数数、2次代数数、4次代数数.....次代数数。n2尺规作图局限性•代数角度：尺规作图是由已知点出发求新的点，根据作图公设3，新的点只可能由直线和直线、直线和圆、圆和圆的交点得到，三种情况分别对应三组方程组：显然，上述三个方程组的解可以由系数经过有限次的加减乘除和开平方求得，因此，得到的坐标（数）一定不超过有有理数Q或Q的n阶二次扩域。•综合以上讨论可知如果某数（线段）可由已知的数（线段）经有限次的加减乘除及开平方后得出，则可用尺规做出来，否则，无法做出。用“域”的概念表述，即：尺规可以做出由已知数构成的域及此域的2次、4次、8次.....扩张域中的数。以上论证从几何和代数两个角度说明尺规作图本领有限，技止此耳。