【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第五节 数列的综合应用课件 理 新人教A版

[典例](2013·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．第五节数列的综合应用(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由此建立关于公差d的方程.思考等差数列{an}中，a1,a4,a7,···,a3n-2成等差数列吗？[解](1)设{an}的公差为d，由题意得a211＝a1a13.即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)或d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝n2(a1＋a3n－2)＝n2(－6n＋56)＝－3n2＋28n.[类题通法]解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．[针对训练]在等比数列{an}(n∈N*)中，a11，公比q0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.解：(1)证明：∵bn＝log2an，∴bn＋1－bn＝log2an＋1an＝log2q为常数，∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an.(2)设数列{bn}的公差为d，∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2.∵a11，∴b1＝log2a10.∵b1b3b5＝0，∴b5＝0.∴b1＋2d＝2，b1＋4d＝0，解得b1＝4，d＝－1.∴Sn＝4n＋nn－12×(－1)＝9n－n22.∵log2q＝－1，log2a1＝4，∴q＝12，a1＝16.∴an＝25－n(n∈N*)．[典例]某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1000万元．(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元．思考企业分红后的资金构成什么数列？每年给股东分红资金构成什么数列？[解]设an为(2010＋n)年年底分红后的资金，其中n∈N*，则a1＝2×1000－500＝1500，a2＝2×1500－500＝2500，…，an＝2an－1－500(n≥2)．∴an－500＝2(an－1－500)(n≥2)，即数列{an－500}是首项为a1－500＝1000，公比为2的等比数列．∴an－500＝1000×2n－1，∴an＝1000×2n－1＋500.(1)a4＝1000×24－1＋500＝8500，∴该企业2014年年底分红后的资金为8500万元．(2)由an32500，即2n－132，得n6，∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32500万元．[类题通法]解数列应用题的建模思路从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：[针对训练]某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.则第n年初M的价值an＝________.解析：当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，34为公比的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×34n－6.答案：an＝130－10n，n≤6，70×34n－6，n≥7数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命题，近年由于对数列要求降低，但仍有一些省份在考查数列与其他知识的交汇.归纳起来常见的命题角度有：1数列与不等式的交汇；2数列与函数的交汇；3数列与解析几何的交汇.1．(2014·湖北七市模拟)数列{an}是公比为12的等比数列，且1－a2是a1与1＋a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1＝8，其前n项和Tn满足Tn＝nλ·bn＋1(λ为常数，且λ≠1)．解：(1)由题意得(1－a2)2＝a1(a3＋1)，即1－12a12＝a114a1＋1，角度一数列与不等式的交汇(1)求数列{an}的通项公式及λ的值；(2)比较1T1＋1T2＋1T3＋…＋1Tn与12Sn的大小．解得a1＝12，∴an＝12n.设{bn}的公差为d，又T1＝λb2，T2＝2λb3，即8＝λ8＋d，16＋d＝2λ8＋2d，解得λ＝12，d＝8或λ＝1，d＝0(舍)，∴λ＝12.(2)由(1)知Sn＝1－12n，∴12Sn＝12－12n＋1≥14，①又Tn＝4n2＋4n，1Tn＝14nn＋1＝141n－1n＋1，∴1T1＋1T2＋…＋1Tn＝141－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝141－1n＋114，②由①②可知1T1＋1T2＋…＋1Tn12Sn.[类题通法]数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．2．(2012·安徽高考)设函数f(x)＝x2＋sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}．角度二数列与函数的交汇(1)求数列{xn}的通项公式；(2)设{xn}的前n项和为Sn，求Sn.解：(1)令f′(x)＝12＋cosx＝0，得cosx＝－12，解得x＝2kπ±2π3(k∈Z)．由xn是f(x)的第n个正极小值点知，xn＝2nπ－2π3(n∈N*)．(2)由(1)可知，Sn＝2π(1＋2＋…＋n)－23nπ＝n(n＋1)π－2nπ3.3．在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－12x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．解：(1)由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1，∴数列{an}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列．∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.角度三数列与解析几何的交汇(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等比数列；(2)证明：∵点(bn，Tn)在直线y＝－12x＋1上，∴Tn＝－12bn＋1.①∴Tn－1＝－12bn－1＋1(n≥2)，②①②两式相减得bn＝－12bn＋12bn－1(n≥2)，∴32bn＝12bn－1，∴bn＝13bn－1.令n＝1，得b1＝－12b1＋1，∴b1＝23，∴{bn}是一个以23为首项，以13为公比的等比数列．[课堂练通考点]1．(2013·安徽“江南十校”高三联考)已知正项等差数列{an}满足：an＋1＋an－1＝a2n(n≥2)，等比数列{bn}满足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，则log2(a2＋b2)＝()A．－1或2B．0或2C．2D．1解析：由题意可知，an＋1＋an－1＝2an＝a2n，解得an＝2(n≥2)(由于数列{an}每项都是正数)，又bn＋1bn－1＝b2n＝2bn(n≥2)，所以bn＝2(n≥2)，log2(a2＋b2)＝log24＝2.答案：C2．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝an2，当an为偶数时，3an＋1，当an为奇数时.若a6＝1，则m所有可能的取值为()A．{4,5}B．{4,32}C．{4,5,32}D．{5,32}解析：an＋1＝an2，当an为偶数时，3an＋1，当an为奇数时，注意递推的条件是an(而不是n)为偶数或奇数．由a6＝1一直往前面推导可得a1＝4或5或32.答案：C3．(2013·武汉武昌联考)在等差数列{an}中，a1＝2，a3＝6，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．解析：由题意知等差数列{an}的公差d＝a3－a12＝2，则a4＝8，a5＝10，设所加的数为x，依题意有(8＋x)2＝(2＋x)(10＋x)，解得x＝－11.答案：－114．(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得21－2n1－2≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6.答案：65．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，b4＝8.解：(1)∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.当n＝1时，a1＝S1＝1亦满足上式，故an＝2n－1(n∈N*)．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列{cn}满足cn＝abn，求数列{cn}的前n项和Tn.又数列{bn}为等比数列，设公比为q，∵b1＝1，b4＝b1q3＝8，∴q＝2.∴bn＝2n－1(n∈N*)．(2)cn＝abn＝2bn－1＝2n－1.Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝21－2n1－2－n.所以Tn＝2n＋1－2－n.