2012高考数学二轮复习课件：第7单元-圆锥曲线(新课标江苏专用)

专题二十五圆锥曲线的几何性质专题二十六椭圆中定值和最值问题第七单元圆锥曲线第七单元圆锥曲线知识网络构建第七单元│知识网络构建考情分析预测第七单元│考情分析预测考向预测回顾2008～2011年的高考题中，在填空题中主要考查了椭圆的离心率和统一定义的运用，在解答题中2010、2011年连续两年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高．在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线考查的较少且难度很小，这与考试说明中A级要求相符合．预计在2012年的高考题中：(1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及．(2)在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的混合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解．第七单元│考情分析预测备考策略江苏省的圆锥曲线的考查的方式与其他新课标地区不同，淡化双曲线和抛物线，只关注椭圆的综合问题是复习的一个主要方向，具体有以下几点要重点关注：(1)圆锥曲线的几何性质，如a，b，c，p的几何意义以及离心率的值或范围的求解；(2)在解答题中出现的简单的直线与椭圆位置关系问题；(3)以椭圆为背景考查直线方程、圆的方程以及直线和圆的几何特征的综合问题；(4)在解析几何中综合出现多字母的等式的化简，这类问题难度很高．第七单元│近年高考纵览专题二十五│圆锥曲线的几何性质专题二十五圆锥曲线的几何性质主干知识整合专题二十五│主干知识整合专题二十五│主干知识整合专题二十五│主干知识整合要点热点探究专题二十五│要点热点探究►探究点一圆锥曲线方程的求解圆锥曲线方程的求解一般有两类问题，一是已知曲线类型，用待定系数法求解；二是未知曲线类型，用求轨迹的方法求解．常见的轨迹求解方法有：定义法，直接法和相关点法．专题二十五│要点热点探究例1(1)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，若另一个焦点为F2，|PF2|＝4，则该双曲线的方程为________.图25－1(2)如图25－1，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|，当P在圆上运动时，点M的轨迹C的方程为________．专题二十五│要点热点探究(1)x2－y24＝1(2)x225＋y216＝1【解析】(1)|PF1|＝252＋22＝6，|PF2|＝4，∴a＝6－42＝1，b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的方程为x2－y24＝1.(2)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得xP＝x，yP＝54y，∵P在圆上，∴x2＋54y2＝25，即C的方程为x225＋y216＝1.专题二十五│要点热点探究【点评】(1)本题已知曲线类型为双曲线，故只需要明确焦点所在轴，并求出a，b，c即可．题干中所给信息与到焦点的距离有关系，故可以用定义2a＝||PF1|－|PF2||求解．(2)本题未给出曲线类型，而给出由圆上一点的运动带来的另一点的运动，此时可以建立已知点和未知点坐标之间的关系，用相关点法来求解．专题二十五│要点热点探究[2011·课标全国卷]在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________________．专题二十五│要点热点探究x216＋y28＝1【解析】设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，因为离心率为22，所以22＝1－b2a2，解得b2a2＝12，即a2＝2b2.又△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a，，所以4a＝16，a＝4，所以b＝22，所以椭圆方程为x216＋y28＝1.专题二十五│要点热点探究►探究点二离心率的求解离心率的求解主要涉及两个问题：一是求离心率的值，二是求离心率的取值范围．离心率的求解有两个方法e＝ca和e＝|PF|d(d为椭圆上一点P到准线的距离，焦点和准线要相对应)．例2点M是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点，若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．专题二十五│要点热点探究0，6－22【解析】由题意可知圆M的半径为b2a，M到y轴的距离为c，由于△PQM是等腰三角形，故只能是∠PMQ为钝角，从而只需b2a2c即可，即2acb2＝a2－c2，两边同除以a2并整理得：e2＋2e－10，解得－2－62e－2＋62，而0e1，所以e∈0，6－22.专题二十五│要点热点探究【点评】本题为求离心率的范围的问题，主要是将几何条件“∠PMQ为钝角”转化为边长之间的不等式，再将该不等式转化为关于e的不等式，解不等式即可得到离心率e的取值范围，不能忘记椭圆的离心率在(0,1)之间．专题二十五│要点热点探究(1)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P(异于长轴的端点)，使得csin∠PF1F2＝asin∠PF2F1，则该椭圆离心率的取值范围是________．(2)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为________．专题二十五│要点热点探究(1)(2－1,1)(2)2＋1【解析】(1)在△PF1F2中，有|PF2|sin∠PF1F2＝|PF1|sin∠PF2F1，所以sin∠PF2F1sin∠PF1F2＝|PF1||PF2|＝ca，所以|PF1|＝e|PF2|，所以|PF1|＋|PF2|＝(e＋1)|PF2|＝2a，由a－c|PF2|a＋c可得e∈(2－1,1)．(2)由题意知：B－a2c，0，A(a,0)，F(c,0)，则2a＝c－a2c，即e2－2e－1＝0，解得e＝2＋1.专题二十五│要点热点探究►探究点三与向量有关的圆锥曲线问题在圆锥曲线的问题中出现了与向量有关的问题，此类问题包含两个方面，一是题干中的条件用向量来描述，二是将所给条件用向量来转化．例3已知a为实数，函数f(x)＝(1＋ax)ex，函数g(x)＝11－ax.令函数F(x)＝f(x)·g(x)．当a0时，求函数F(x)的单调区间．专题二十五│要点热点探究例3如图25－2，椭圆x29＋y25＝1的左焦点为F，上顶点为A，过点A作直线AF的垂线分别交椭圆、x轴于B，C两点，若AB→＝λBC→，求实数λ的值．图25－2专题二十五│要点热点探究【解答】由条件，得F(－2,0)，A(0，5)，直线AF的斜率k1＝52.∵AB⊥AF，∴直线AB的斜率为－255.则直线AB的方程为y＝－255x＋5.令y＝0，得x＝52，∴点C的坐标为52，0.由y＝－255x＋5，x29＋y25＝1得61x2－180x＝0.解得x1＝0(舍)，x2＝18061，当x＝18061时，y＝－11561，∴点B的坐标为18061，－11561.∵AB→＝λBC→，∴λ0，且λ＝ABBC.∴λ＝1806152－18061＝3625.专题二十五│要点热点探究【点评】本题中的向量条件“AB→＝λBC→”其转化方向有两个，一是直接代入坐标，转化为坐标之间的等式，二是利用其几何特征即三点共线来处理．专题二十五│要点热点探究例4已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)经过点P62，12，离心率为22，动点M(2，t)(t0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)求以OM为直径且截直线3x－4y－5＝0所得的弦长为2的圆的方程；(3)设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值．专题二十五│要点热点探究【解答】(1)由题意得ca＝22，①因为椭圆经过点P62，12，所以622a2＋122b2＝1，②又a2＝b2＋c2，③由①②③解得a2＝2，b2＝c2＝1.所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)以OM为直径的圆的圆心为1，t2，半径r＝t24＋1，圆M的方程为(x－1)2＋y－t22＝t24＋1，因为以OM为直径的圆截直线3x－4y－5＝0所得的弦长为2，所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝r2－1＝t2.所以|3－2t－5|5＝t2，解得t＝4.所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.专题二十五│要点热点探究(3)方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K，由平面几何知识知|ON|2＝|OK||OM|.则直线OM：y＝t2x，直线FN：y＝－2t(x－1)，由y＝t2x，y＝－2tx－1得xK＝4t2＋4，∴|ON|2＝xK1＋t24·xM1＋t24＝4＋t24·8t2＋4＝2.所以线段ON的长为定值2.方法二：设N(x0，y0)，则FN→＝(x0－1，y0)，OM→＝(2，t)，MN→＝(x0－2，y0－t)，ON→＝(x0，y0)．∵FN→⊥OM→，∴2(x0－1)＋ty0＝0，∴2x0＋ty0＝2.又∵MN→⊥ON→，∴x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0，∴x20＋y20＝2x0＋ty0＝2.∴|ON→|＝x20＋y20＝2为定值．专题二十五│要点热点探究【点评】本题第三小问中有“过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N”这个条件的转化，除了利用几何性质转化，也可以用向量“FN→⊥OM→”来转化为坐标之间的关系．规律技巧提炼专题二十五│规律技巧提炼1．圆锥曲线方程的求解，首先要区分是否已知曲线类型，在已知曲线类型，用待定系数法求解时，要注意是否有两解．在未知曲线类型，用求轨迹方程的方法求解时，一般首先要建立直角坐标系，再根据所给条件特征选择相应的方法．2．圆锥曲线的离心率的求解，主要是将几何条件转化为a，b，c的齐次方程或齐次不等式．如果遇到存在性问题，可利用方程有解，来转化为不等式求解取值范围．3．在圆锥曲线中出现的向量条件，多用坐标来转化，转化为几何的条件不多，在圆中可以转化为几何条件．专题二十五│江苏真题剖析例[2008·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过Pa2c，0作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为________．江苏真题剖析【分析】本题考查椭圆的离心率的求解以及直线与圆的位置关系．离心率的求解关键是根据几何特征建立关于a，b，c的等式，本题中是根据相切得到三角形的形状，再将形状转化为边长之间的关系，从而建立a，b，c的等式．【答案】22【解析】切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故a2c＝2a，解得e＝ca＝22.专题二十五│江苏真题剖析[2009·江苏卷]如图25－3，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．图25－3专题二十五│江苏真题剖析27－5【解析】直线A1B2的方程为x－a＋yb＝1，直线B1F的方程为xc＋y－b＝1，两方程联立得T2aca－c，ab＋bca－c，则点Maca－c，ab＋bc2a－c，由点M在椭圆上，代入整理得：3a2－10ac－c2＝0,3－10e－e2＝0，又e0，所以离心率为e＝27－5.专题二十五│江苏真题剖析【点评】本题和2008年的题一样考查椭圆