《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2 复数的几何意义

3.1.23.1.2复数的几何意义【学习要求】1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2．掌握实轴、虚轴、模等概念.3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．【学法指导】通过类比实数可用数轴上的点来表示，认识复数用点和向量表示的合理性，体会数形结合思想在理解复数中的作用．复数的几何意义是进一步学习复数的加法、减法几何意义的基础，所以理解并掌握复数的几何意义具有承上启下的重要作用．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2填一填·知识要点、记下疑难点1．复数的几何意义(1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x轴叫做______，y轴叫做______．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数与点、向量间的对应①复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点______；复平面实轴虚轴Z(a，b)本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2填一填·知识要点、记下疑难点②复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量___________．2．复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ→，则OZ→的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝_________.OZ→＝(a，b)a2＋b2本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点一复数与复平面内的点问题1实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效小结建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效问题2判断下列命题的真假：①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．答根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2，因此①③是真命题；本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效根据虚轴的定义，y轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以②是真命题，④是假命题；对于非纯虚数z＝a＋bi，由于a≠0，所以它对应的点Z(a，b)不会落在虚轴上，但当b＝0时，z所对应的点在实轴上，故⑤是假命题．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效例1在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．解复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.(1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.(2)由题意得m2－m－20m2－3m＋20，∴－1m2m2或m1，∴－1m1.(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，故m＝2.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效小结按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．解(1)由m2－2m－150，得m－3，或m5，所以当m－3，或m5时，复数z对应的点在x轴上方．(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，得m＝1，或m＝－52，所以当m＝1，或m＝－52时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点二复数与向量问题1复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？答当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效问题2怎样定义复数z的模？它有什么意义？答复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是向量OZ→＝(a，b)的模，记作|z|或|a＋bi|.|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2可以表示点Z(a，b)到原点的距离．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效例2已知复数z＝3＋ai，且|z|4，求实数a的取值范围．解方法一∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝32＋a2，由已知得32＋a242，∴a27，∴a∈(－7，7)．方法二利用复数的几何意义，由|z|4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．由图可知：－7a7.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效小结利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2求复数z1＝3＋4i，z2＝－12－2i的模，并比较它们的大小．解|z1|＝32＋42＝5，|z2|＝－122＋－22＝32.∵532，∴|z1||z2|.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)|z|＝2；(2)|z|≤3.解方法一(1)复数z的模等于2，这表明向量OZ→的长度等于2，即点Z到原点的距离等于2，因此满足条件|z|＝2的点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆．(2)满足条件|z|≤3的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的圆及其内部．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2研一研·问题探究、课堂更高效方法二设z＝x＋yi(x，y∈R)．(1)|z|＝2，∴x2＋y2＝4，∴点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．(2)|z|≤3，∴x2＋y2≤9.∴点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1．在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限．B本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处2．当23m1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析复数z在复平面内对应的点为Z(3m－2，m－1)．由23m1，得3m－20，m－10.所以点Z位于第四象限．故选D.D本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处3．在复平面内，O为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量OB→对应的复数为()A．－2－iB．－2＋iC．1＋2iD．－1＋2i解析∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量OB→对应的复数为－2＋i.B本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处4．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2mi的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．解析∵z＝(m－3)＋2mi表示的点在直线y＝x上，∴m－3＝2m，解之得m＝9.9本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．本课时栏目开关填一填研一研练一练