《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】章末复习课(

章末复习课本课时栏目开关画一画研一研章末复习课画一画·知识网络、结构更完善本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型一三视图与直观图三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图，从三视图可以看出，俯视图反映物体的长和宽，主视图反映它的长和高，左视图反映它的宽和高．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课例1已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．8π3B．3πC.10π3D．6π研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课解析将三视图还原为实物图求体积．研一研·题型解法、解题更高效由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，所以V＝34×π×12×4＝3π.答案B本课时栏目开关画一画研一研章末复习课跟踪训练1一几何体的三视图如图所示．(1)说出该几何体的结构特征并画出直观图；(2)计算该几何体的体积与表面积．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课解(1)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底圆锥拼接而成的组合体，其直观图如图所示．研一研·题型解法、解题更高效(2)由三视图中尺寸知，组合体下部是底面直径为8cm，高为20cm的圆柱，上部为底面直径为8cm，母线长为5cm的圆锥．易求得圆锥高h＝52－42＝3(cm)，∴体积V＝π·42·20＋13π·42·3＝336π(cm3)，表面积S＝π·42＋2π·4·20＋π·4·5＝196π(cm2)．∴该几何体的体积为336πcm3，表面积为196πcm2.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课题型二柱体、锥体、台体的表面积和体积几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效例2圆柱有一个内接长方体AC1，长方体对角线长是102cm，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100πcm2，求圆柱的体积．解设圆柱底面半径为rcm，高为hcm.如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则2r2＋h2＝1022，2πrh＝100π，∴r＝5h＝10.∴V圆柱＝Sh＝πr2h＝π×52×10＝250π(cm3)．∴圆柱体积为250πcm3.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练2如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．解析利用三棱锥的体积公式直接求解．＝13·AB＝13×12×1×1×1＝16.EDDFEDFDVV11DEDS116本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型三几何中共点、共线、共面问题1．证明共面问题证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．2．证明三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上．3．证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效例3如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)GE与HF的交点在直线AC上．证明(1)∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD，又EF∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四点共面．(2)∵G、H不是BC、CD的中点，∴EF≠GH.又EF∥GH，∴EG与FH不平行，则必相交，设交点为M.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效EG⊂面ABCHF⊂面ACD⇒M∈面ABC且M∈面ACD⇒M在面ABC与面ACD的交线上⇒M∈AC.∴GE与HF的交点在直线AC上．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练3如图，O是正方体ABCD－A1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点．求证：O、M、A1三点共线．证明∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.∵M∈AC1，AC1⊂平面ACC1A1.∴M∈平面ACC1A1.又已知A1∈平面ACC1A1，即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上，又O、M、A1三点都在平面AB1D上，∴O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上，∴O、M、A1三点共线．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型四空间中的平行问题1．判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．2．证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效例4如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明(1)取B1D1中点O，连接GO，OB，易证OG綊12B1C1，BE綊12B1C1，∴OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形．∴OB∥GE.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效∵OB⊂平面BDD1B1，GE⊄平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.(2)由正方体性质得B1D1∥BD，∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练4如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.证明∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型五空间中的垂直关系1．空间垂直关系的判定方法：(1)判定线线垂直的方法：①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)．(2)判定线面垂直的方法：①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)；本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法：①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效例5如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练5如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边△ADB以AB为轴运动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解(1)取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，由已知可得DE＝3，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课1．研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．2．圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化到平面问题解决．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课3．转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为本课时栏目开关画一画研一研