大学物理总习题答案(1)

总习题答案February17,2014第一章质点力学运动学1.1一个物体沿着直线运动，其加速度a=4+3t(SI)，若x0=5;v0=0，计算该物体在t=10s时的速度和坐标．解答：任意时刻的速度v(t)=v0+t0adt=t0(4+3t)dt=(4t+1:5t2)t0=4t+1:5t2将t=10代⼊得v(10)=190m=s任意时刻的坐标x(t)=x0+t0v(t)dt=5+2t2+0:5t3将t=10代⼊得x(10)=705m1.2质点从坐标原点开始沿着x轴运动，其速度为v(t)=4tπsinπt(SI)，计算该物体在t=10s时的加速度和坐标．解答：加速度a(10)=dvdtt=10=4π2cosπtt=10=4π2任意时刻的坐标x(t)=x0+t0v(t)dt=t0(4tπsinπt)dt=(2t2+cosπt)t0=2t2+cosπt1将t=10代⼊得x(10)=200m1.3如下图所示，一个物体沿着x轴运动，其速度v(t)函数曲线分为三段．问：三个阶段的加速度各是多少？三个阶段的位移各为多少？总习题1-3图解答：加速度a=dv=dt，其⼏何意义就是图线v(t)切线的斜率；位移Δx=v(t)dt是速度曲线下⽅的⾯积．OA阶段的加速度a=Δv=Δt=4=2=2m=s2；位移Δx=OA下⽅的⾯积=4mAB阶段的加速度a=Δv=Δt=(64)=(42)=1m=s2位移Δx=AB下⽅的⾯积=10mBC阶段的加速度a=Δv=Δt=(26)=(64)=2m=s2位移Δx=BC下⽅的⾯积=8m1.4半径为R的轮子沿着x轴滚动，其角速度是ω，轮子边缘某一个点P的轨迹称为“旋轮线”，其轨迹方程为{x=RωtRsinωty=RRcosωt—1—总习题答案第一章质点力学计算任意时刻的速率v、加速度jaj解答：速度vx=dxdt=RωRωcosωtvy=dydt=Rωsinωt速率v=√v2x+v2y=Rω√(1cosωt)2+sin2ωt=Rωp22cosωt=2Rωsinωt2加速度ax=dvxdt=Rω2sinωtay=dvydt=Rω2cosωtjaj=√a2x+a2y=Rω21.5如下图所示，在河堤上安装一个高于水面h的定滑轮，用绳子通过滑轮将水面上的船拉向岸边，收绳的速率v0均匀不变．当船到河堤的水平距离为s时，船速vs多大？（提示：船速是距离s缩短的快慢ds=dt，收绳的速率v0是绳子缩短的快慢）．总习题1-5图解答：令绳⼦的长度为l．由于绳⼦在缩短，所以v0=dl=dt．根据⼏何关系有l2=s2+h2其中l;s都随着时间t变化，⽽h是常量．等式两边对时间t求导数得d(l2)dt=d(s2)dt+d(h2)dtd(l2)dldldt=d(s2)dsdsdt+02ldldt=2sdsdt化简得vs=dsdt=lsdldt=ps2+h2sv01.6如下图所示，路灯距离地面H，人的身高h，若人以均匀的速率v0远离路灯，那么人头顶在水平地面的阴影D以多大的速率V远离路灯杆？（提示：利用相似三角形）总习题1-6图—2—总习题答案第一章质点力学解答：从图中可以看出⼈的速度就是AB的变化率v0=dAB=dt，影⼦D的速率就是CD的变化率V=dCD=dt．由三⾓形相似△SAB～△SCD，可得到ABHh=CDH注意到H;h都是常量，上式两边对时间求导可得v0Hh=VH;V=HHhv01.7长度为l的梯子搭在直角墙边，在某时刻，梯子与墙壁的角度为θ，且梯子的下端向外移动的瞬时速率是v1，此刻梯子的上端向下滑动的速率v2多大？总习题1-7图解答：设梯⼦的⽔平跨度为x，垂直⾼度为y，则v1=jvxj=dxdt;v2=jvyj=dydt将等式x2+y2=l2两边对时间t求导数2xdxdt+2ydydt=0即2xvx+2yvy=0;)v2=xyv1=tanθv1令解：设梯⼦的⽔平跨度为x，垂直⾼度为y，则y=√l2x2=(l2x2)1=2对时间t求导数v2=jvyj=dydt=122xpl2x2dxdt=tanθv11.8一个质点从静止出发，沿着半径r=3m的圆周运动，其切向加速度at=3m=s2，当总加速度与半径成45◦角时，计算所用的时间以及此期间所经过的路程．解答：根据at=dv=dt可得dv=atdt，v(t)=v0+t0atdt=0+t03dt=3t⾓度为45◦时，切向加速度与法向加速度⼤⼩相等．将an=at展开可得v2r=3;)(3t)23=3;)t=1s根据v=ds=dt可知ds=vdt，质点的位移Δs=10v(t)dt=103tdt=1:5m1.9以国际单位制度量，某质点以初始角速度ω0=10做圆周运动，其角加速度β=10et．（1）何时切向加速度与法向加速度大小相等？（2）质点转过的最大角位移是多少？—3—总习题答案第一章质点力学解答：根据β=dω=dt，任意时刻的⾓速度ω(t)=ω0+t0βdt=10t010etdt=10et设圆周的半径为r．当切向加速度与法向加速度⼤⼩时，jω2rj=jβrj;)10et=1;)t=ln102:30根据ω=dθ=dt，质点的⾓位移Δθ=t0ω(t)dt=10(1et)从上式可以看出，随着时间的增加，⾓位移逐步增⼤．当t!1，达到最⼤⾓位移Δθ=10．1.10某质点的运动规律为x=Acosωt;y=Bsinωt，其中A;B;ω都是常量．证明rv是常矢量．解答：r=ix+jy=iAcosωt+jBsinωtv=dxdti+dydtj=iωAsinωt+jωBcosωtrv=Acosωt
ωBcosωtijBsinωt
ωAsinωtji=ωAB(cos2ωt+sin2ωt)ij=ωABk1.11质点沿直线运动，加速度a=4t2，式中a的单位为m=s2，t的单位为s．如果当t=3s时，x=9m，v=2m=s，求质点的运动方程．解答：在这⾥，t0=3，x0=9，v0=2，v(t)=v0+tt0a(t)dt=2+t3(4t2)dt=4t13t31m=sx(t)=x0+tt0v(t)dt=34t+2t2112t4牛顿定律1.12粗糙的水平路面上放置质量m的重物，摩擦系数μ．用大小恒定的力F拽拉，拉力与水平方向的夹角θ可以变化，问θ多大时重物获得的加速度最大？解答：设地⾯向上的⽀持⼒⼤⼩为N．在垂直⽅向受⼒平衡Fsinθ+N=mg在⽔平⽅向，⽜顿第⼆定律为FcosθμN=ma上述⼆式消去⽀持⼒N得ma=Fcosθμmg+μFsinθ要使得加速度a最⼤，就是要求上式等号右侧取得极⼤値．根据微积分中的极値条件，ddθ(Fcosθμmg+μFsinθ)=0求解得θ=arctanμ1.13质量为m的子弹以v0的初速度水平射入沙土墙壁中，进入墙壁后，它受到与速度成正比的水平摩擦阻力f=kv．计算子弹的速度随时间变化的函数关系．—4—总习题答案第一章质点力学解答：由f=ma得kv=mdvdt)dvv=kmdt积分得lnvvv0=kmtt0)v=v0ekmt1.14质量为m的快艇在速度达到v0时关闭发动机，受到阻力而减速，阻力大小与速度的平方成正比，即f=kv2．证明它在水面上再行驶距离x时的速度为v=v0ekx=m．解答：利⽤隐函数的求导法则a=fm=kmv2)dvdt=kmv2)dvdxdxdt=dvdxv=kmv2)dvdx=kmv)dvv=kmdx)vv0dvv=x0kmdx)ln(v=v0)=kmx)v=v0ekx=m1.15以初速度v0竖直上抛一个物体，除重力外，还受到空气阻力f=kv，计算上升的最大高度H．解答：以垂直向上为正⽅向，由f=ma得kvmg=mdvdt左右两边都乘以⾼度的微分dh得(kv+mg)dh=mdvdtdh=mdhdtdv=mvdv分离变量得mkvv+mg=kdv=dh积分mk0v0(v+mg=k)mg=kv+mg=kdv=H0dh注意上式中积分上下限的对应．计算得H=mv0km2gk2lnv0+mg=kmg=k相对运动1.16如图所示，重力场中的升降梯携带一个定滑轮以a0加速上升．定滑轮的质量以及摩擦忽略不计．计算绳子中的张力T．总习题1-16图解答：以定滑轮为参照系，则该⾮惯性系中需要添加竖直向下的惯性⼒ma0．设重物系统相对于定滑轮的加速度⼤⼩为a．对于m1列⽅程，T(m1g+m1a0)=m1a对于m2列⽅程m2g+m2a0T=m2a综合上述两个等式，可以得到a=m2m1m1+m2(g+a0)—5—总习题答案第一章质点力学T=2m1m2m1+m2(g+a0)1.17如图所示，重力场中的升降梯携带一个桌子以a0加速上升．质量为m1的物体与桌面之间的摩擦系数为μ，定滑轮的质量以及摩擦忽略不计．计算绳子中的张力T．总习题1-17图解答：以桌⼦为参照系，则该⾮惯性系中需要添加竖直向下的惯性⼒ma0．设重物系统相对于桌⼦的加速度为a．对于m1列⽅程，⽔平⽅向TμN=m1a垂直⽅向m1g+m1a0=N对于m2列⽅程垂直⽅向m2g+m2a0T=m2a综合上述三个等式，可以得到a=m2μm1m1+m2(g+a0)T=m1m2(1+μ)m1+m2(g+a0)动量1.18质量m=0:5kg的物体沿直线运动，其位移x=4ln(1+2t)SI．计算0t2时间内物体受到的冲量．解答：物体的速度v(t)=dxdt=81+2t带⼊时间得v0=8;v2=1:6根据定量定理，I=Δp=mv2mv0=3:2N
s1.19物体在空气中上抛，它除了受到重力之外，还会受到与速度方向相反的阻力f=kv．根据冲量的定义证明在物体上升过程中和下落过程中，空气阻力对物体的冲量大小相同．解答：只考虑冲量的⼤⼩．在很短的⼀段时间dt内，阻⼒的冲量为dI=fdt=kvdt=kdl其中dl=vdt是物体在这段时间内的路程．可见阻⼒的冲量的⼤⼩与物体⾛过的路程成正⽐．假设物体上升的最⼤⾼度为H，则上升阶段和下落阶段的阻⼒冲量均为I=H0kdl=kH0dl=kH证毕．—6—总习题答案第一章质点力学1.20超高压水切割又称水刀和水射流，它是将普通的水经过多级增压后所产生的高压水流，再通过一个极细的红宝石喷嘴以近千米每秒的速度喷射切割．假设喷嘴喷出的水流速率水从高压泵中以800m=s喷出，垂直冲击到某固体表面后速度降为零．固体表面受到水的压强有多大？已知水的密度ρ=103kg=m3．解答：设⽔流截⾯积为A，在dt时间内，⼊射到固体表⾯的⽔流长度为vdt，其质量dm=ρAvdt，动量为vdm=ρAv2dt．⽔流⼊射到表⾯后，动量变为零．在此过程中固体表⾯对于⽔流的冲量为Fdt．根据动量定理ρAv2dt=Fdt压强P=F=A=ρv2=6:4108Pa1.21水平面上的一条输油管有一个直角拐弯．已知管中的原油平均速度为v=2:0m=s，管道横截面积A=100cm2，计算拐弯处受力的大小．已知原油密度ρ=0:80t=m3总习题1-21图解答：解法一：在dt时间内体积为Avdt的原油从管道的⼀侧流⼊并从另⼀侧流出，其质量dm=ρAvdt．由于流⼊流出的原油动量⼤⼩相等⽽⽅向垂直，故在此过程中动量变化量的⼤⼩为p2vdm．根据动量定理p2vdm=Fdt;F=p2ρAv2=32p245N解法二：在管道上建⽴直⾓坐标系，原油从y轴正向流⼊，从x正⽅向流出．设管中的原油的总长度为L，某时刻x⽅向流动的原油长度为x，y⽅向流动的原油长度为Lx．则原油的总动量为p=ρAxvi+ρA(Lx)v(j)=ρALj+ρAxv(i+j)在上式中，只有x是变化的，且dx=dt=v，根据⽜顿第⼆定律F=dpdt=ρAdxdtv(i+j)=ρAv2(i+j)这就是管道对原油的作⽤⼒，F=ρAv2ji+jj=p2ρAv21.2