高二数学《不等式的证明》习题(含答案)

第1页共4页高二数学同步测试—不等式的证明班级：姓名：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列，则（）A．bcda2B．bcda2C．bcda2D．bcda22．综合法证明不等式中所说的“由因导果”是指寻求使不等式成立的（）A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．必要或充分条件3．在的条件下，，00ba①22babaab，②，2222baba③babaab22，其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．34．下列函数中最小值是2的是（）A．xxy1B．sincsc,(0,)2yC．xxy2D．1222xxy5．设4334,,nmnynmmxnm，则x，y的大小是（）A.xyB．xyC．xyD．与m，n的取值有关6．已知a、b、m是正实数，则不等式abmamb（）A．当ab时成立B．当ab时成立C．是否成立与m有关D．一定成立7．如果正数abcd，，，满足4abcd，那么（）Ａ．abcd≤，且等号成立时abcd，，，的取值唯一Ｂ．abcd≥，且等号成立时abcd，，，的取值唯一Ｃ．abcd≤，且等号成立时abcd，，，的取值不唯一Ｄ．abcd≥，且等号成立时abcd，，，的取值不唯一8．在ABC中，a,b,c分别是,,ABC所对应的边，90C，则cba的取值范围是（）A．（1,2）B．)2,1(C．]2,1(D．]2,1[9．定义()(,,)fMmnp，其中M是△ABC内一点，m、n、p分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积，已知△ABC中，23ABAC，30BAC，1()(,,)2fNxy，则14xy的最小值是（）A．8B．9C．16D．1810．设则且,10)(4,4,0,022yxyxyxyx的最值情况是（）A．有最大值2，最小值2)22(2B．有最大值2，最小值0C．有最大值10，最小值2)22(2D．最值不存在第2页共4页一、选择题答案12345678910二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．若a、b、c、d∈R，且有122ba，122dc，则abcd的取值范围是_______．12．若0,0ba，则函数)10(,1)(22xxbxaxf的最小值是________.13．若2)(babaabbaRba和，则、的大小关系是________________________．14．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v公里／小时的速度匀速直达灾区，已知某市到灾区公路线长400公里，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2)20(v公里，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________________小时．（车身长不计）15．实数xyxyxyx，此时的最大值是，那么，且，______loglog42022_________，y=_________．三、解答题（本大题共6题，共75分）16．（12分）已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：2222)(cbacba．17．（12分）已知A=11xx,B=x+1,当x≠1时，试比较A与B的大小,并说明你的理由.第3页共4页18．（12分）已知,abR，且1ab新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆求证：2252222ba新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆19．（12分）⑴证明：当1a时，不等式323211aaaa成立。⑵要使上述不等式323211aaaa成立，能否将条件“1a”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。第4页共4页20．（13分）如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器。已知喷水器的喷水区域是半径为5m的圆。问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？21．（14分）已知二次函数)0()(2acbxaxxf的图象与x轴有两个不同的公共点，若0)(cf，且cx0时，0)(xf．(1)试比较a1与c的大小；(2)证明：12b．喷水器喷水器第5页共4页高二数学同步测试—不等式的证明参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案ABCDABACDA二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．]41,41[12．2)(ba13．2)(babaabba14．1215.1，2，1三、解答题（本大题共6题，共75分）16．（12分）[证明]：左－右=2（ab+bc－ac）∵a，b，c成等比数列，acb2又∵a，b，c都是正数，所以acb0≤caca2∴bca∴0)(2)(2)(22bcabbbcabacbcab∴2222)(cbacba17．（12分）[解析]A–B=1)1)(1()1(xxxx=1)2)(1(xxx，由1)2)(1(xxx0得x–1或1x2∴当x–1或1x2时,AB；当–1x1或x2时,AB；当x=–1或x=2时,A=B．18．（12分）证法一：（比较法）abbaRba1,1,,2222259224()22ababab2222911(1)4222()0222aaaaa即2252222ba（当且仅当21ba时，取等号）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆证法二：（分析法）2258)(4225222222babaBa0)21(22584)1(1222aaaab因为显然成立，所以原不等式成立新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆证法四：（反证法）假设225)2()2(22ba，则2258)(422baba新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆由a+b=1，得ab1，于是有22512)1(22aa新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆第6页共4页所以0)21(2a，这与0212a矛盾新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆所以2252222ba新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆证法五：（放缩法）∵1ab∴左边＝222222222abab2125422ab＝右边新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式22222baba新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆证法六：（均值换元法）∵1ab，所以可设ta21，tb21，∴左边＝22221122(2)(2)22abtt22255252522222ttt＝右边新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆当且仅当t=0时，等号成立新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有1322)3()2(222aaaay，所以013222yaa，因为Ra，所以0)13(244y，即225y新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆故2252222ba新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆19．（12分）解：（1）证：325323111(1)(1)aaaaaaa,∵a＞1，∴531(1)(1)aaa＞0，∴原不等式成立（2）∵