第4章机器人逆运动学

逆运动学:已知工具坐标系相对于工作台坐标系的期望位置和姿态，计算一系列满足期望要求的关节角为求出要求的关节角以放置相对于工作台坐标系{S}的工具坐标系{T}，可将这个问题分为两部分:•首先，进行坐标变换求出相对于基坐标系{B}的腕部坐标系{W}.•应用逆运动学求关节角.第四章:操作臂逆运动学4.1概述求解运动方程时，可以从开始求解。根据式：两边同时乘，有：由此求解；再两边同时乘，有：由此求解。依次类推，便可以求解各个关节角度，但通常不需要全部递推过程便可利用等式两边对应项求解。TTTTTTT56453423120106T06101TTTTTTTT5645342312061011112TTTTTTTT5645342306101112211121321222300123456112233445566313233()()()()()()0001xyzrrrprrrpTTTTTTTrrrp第四章:操作臂逆运动学4.1概述1.解的存在性解是否存在的问题完全取决于操作臂的工作空间.灵巧工作空间:机器人的末端执行器能够从各个方向到达的空间区域.可达工作区间:机器人至少从一个方向上有一个方位可以达到的空间.第四章:操作臂逆运动学4.2可解性例:考虑一个两连杆操作臂.如果,则可达工作空间是半径为的圆，而灵巧工作空间仅是单独的一点，即原点。如果，则不存在灵巧工作空间，而可达工作空间为一外径为，内径为的圆环。在可达工作空间内部，末端执行器有两种可能的方位，在工作空间的边界上只能一种可能的方位。12ll12ll12l12ll12ll第四章:操作臂逆运动学4.2可解性当一个操作臂少于6自由度时，它在三维空间内不能达到全部位姿.---操作臂的工作空间是一个子空间.---更简单的操作臂的工作空间是这个子空间的子集.对于少于6个自由度的操作臂来说，给定一个确定的一般目标坐标系，什么是最近的可达目标坐标系？一般来说，工具坐标系的变换与操作臂的正逆运动学无关，所以一般常去研究腕部坐标系{W}的工作空间。对于一个给定的末端执行器，定义工具坐标系{T}，给定目标坐标系{G}，去计算相应的腕部坐标系{W}。第四章:操作臂逆运动学4.2可解性例:试着描述三连杆操作臂的子空间.利用连杆参数求得操作臂的运动学方程为:这里和是满足约束的任意变量,因此，子空间就建立了.连杆长度和关节的限位决定了操作臂的工作空间.123123112121231231121200000010001000010001BWcsxcslclcscysclslsTBWT,xy第四章:操作臂逆运动学4.2可解性例:试描述下图两自由度操作臂的子空间.已知:这里可以取任意值.它的方位是确定的，因为的方向取决于它的姿态受限，总是向下，而的方向是叉乘求得。020ORGxPy02T,xy,xy02ˆY000222ˆˆˆXYZ22220222220001000001yxxxyxyxyyTxyxy02ˆZ第四章:操作臂逆运动学4.2可解性2.多重解一个具有3个旋转关节的平面操作臂，由于从任何方位均可到达工作空间内的任何位置，因此在平面中有较大的灵巧工作空间（给定适当的连杆长度和大的关节运动范围）.系统最终只能选择一个解，比较合理的选择应当是取“最短行程”解.第四章:操作臂逆运动学4.2可解性最短行程的确定：–计算最短行程需要加权，使得选择侧重于移动小连杆而不是移动大连杆.–在存在障碍的情况下，最短行程发生干涉，这时选择较长行程。第四章:操作臂逆运动学4.2可解性解的个数取决于操作臂的关节数量，它也是连杆参数和关节运动范围的函数.例子:PUMA到达一个确定目标有8个不同的解.图中给出了其中的4个解.它们对于末端手部运动来说具有相同的位姿。对于图中所示的每一个解存在另外一种解，其中最后三个关节变为另外一种位形：由于关节运动的限制，这8个解中的某些解是不能实现的.04455066180180第四章:操作臂逆运动学4.2可解性通常，连杆的非零参数越多，达到某一特定目标的方式也越多.以一个具有6个旋转关节的操作臂为例，解的最大数目与等于零的连杆长度参数的数目相关。非零参数越多，解的最大数目就越大.第四章:操作臂逆运动学4.2可解性3.解法与线性方程组不同，非线性方程组没有通用的求解方法，我们把操作臂的全部求解方法分成两大类：封闭解:封闭解是指基于解析形式的算法，或者指对于不高于四次的多项式不用迭代便可完全求解。可将封闭解的求解方法分为两类：代数解法和几何解法.数值解法:数值解具有迭代性质，所以比封闭解法的求解速度慢得多。通常，数值解的计算也依赖于解的解析形式，一般不用数值解来求解运动学问题，对运动方程的数值迭代本身已形成一个完整的研究领域.第四章:操作臂逆运动学4.2可解性关于运动学逆解的几个结论:–所有包含转动关节和移动关节的串联型6自由度操作臂都是可解的，但这种解一般是数值解.–对于6自由度操作臂来说，只有在特殊情况下才有解析解。这种存在解析解（封闭解）的操作臂具有如下特性：存在几个正交关节轴或者有多个为0或.–具有6个旋转关节的操作臂存在封闭解的充分条件（sufficientcondition）是相邻的三个关节轴线相交于一点.i090第四章:操作臂逆运动学4.2可解性为了介绍运动学方程的求解方法，这里用两种不同方法对一个简单的平面三连杆操作臂进行求解.第四章:操作臂逆运动学4.3代数解法和几何解法1.代数解法该操作臂的运动方程为:1231231121212312311212030000100001BWcslclcsclslsTT第四章:操作臂逆运动学4.3代数解法和几何解法研究的是平面操作臂,通过确定三个量就可以容易确定目标点的位置:.所有可达目标点均位于上式描述的子空间内.0000100001BWcsxscyT,,xy12312311212123123112120300000010001000010001BWcsxcslclcsclslsscyTT第四章:操作臂逆运动学4.3代数解法和几何解法得到四个非线性方程:上式有解的条件是的值必须在-1和+1之间。在这个解法中，可用这个约束来检查解是否存在。如果约束条件不满足,则操作臂离目标点太远.1231231121211212ccssxlclcylsls22221212222221221212121212121222,xyllllcxyllcllcccssscssc2c第四章:操作臂逆运动学4.3代数解法和几何解法假设目标点在工作空间内，则:上式是多解的，可以选择正或者负.2222221,tan2(,)scAsc第四章:操作臂逆运动学4.3代数解法和几何解法为便于计算引入新的变量:式中:为了求解这种形式的方程，进行变量代换:令那么于是有1121211212xlclcylsls11211121xkcksykskc1122222kllckls221221,tan2(,)rkkAkk12cos,sinkrkr1111coscossinsincossinsincosxryr11cos()sin()xryr第四章:操作臂逆运动学4.3代数解法和几何解法得到最后，我们解出:总之，用代数解法求解运动学方程是求解操作臂的基本方法之一，在求解方程时，解的形式已经确定。可以看出，对于许多常见的几何问题，经常会出现几种形式的超越方程。注：超越方程：等号两边至少有一个含有未知数的初等超越函数式的方程。如指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等。具有未知量的对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数等的方程。超越方程一般没有解析解，而只有数值解或近似解，只有特殊的超越方程才可以求出解析解来。1121tan2(,)tan2(,)tan2(,)tan2(,)yxAAyxAyxAkkrr123312tan2(,)Asc第四章:操作臂逆运动学4.3代数解法和几何解法2.几何解法为求出操作臂的解，将操作臂的空间几何参数分解成为平面几何参数，然后应用平面几何方法求出关节角度。对于例子中的3自由度操作臂，有于操作臂是平面的，因此利用平面几何关系直接求解。Wehave:2222121222cos(180)xyllll22222212212cos(180)cos()2xyllcll第四章:操作臂逆运动学4.3代数解法和几何解法为了使该三角形成立，到目标点的距离必须满足小于等于两个连杆长度之和,12ll22xy第四章:操作臂逆运动学4.3代数解法和几何解法应用反正切公式:应用余弦定理:Here,thearccosinemustbesolvedsothat,inorderthatthegeometrywhichleadtotheequationwillbepreserved.Thenwehave:平面内的角度是可以相加的，因此三个连杆的角度之和即为最后一个连杆的姿态:Thisequationissolvedfortocompleteoursolution.00180tan2(,)Ayx222212221cos2xylllxy11233第四章:操作臂逆运动学4.3代数解法和几何解法3.通过化简为多项式的代数解法万能公式:22212sintan,cos,sin,tan21121cosuuuuu第四章:操作臂逆运动学4.3代数解法和几何解法例子:求解超越方程的.利用:得到:取u的幂函数形式:得到:如果,那么.0accossinabc018022(1)2(1)aubucu22212cos,sin11uuuu2()2()0acubuca2222221,2tan()bbacbbacuacac第四章:操作臂逆运动学4.3代数解法和几何解法尽管一般具有6自由度的操作臂没有封闭解，但在某些特殊情况下还是可解的.PEIPER研究了3个相邻的轴相交于一点的6自由度操作臂。PEIPER的方法主要针对6各关节均为旋转关节的操作臂，且后面3个轴相交。该成果广泛应用于产品化的机器人中。第四章:操作臂逆运动学4.4三轴相交的PIEPER解法当最后3根轴相交时，连杆坐标系{4}、{5}、{6}的原点均位于这个交点上，这点的基坐标如下：3134323001230120141234123124333()()()111ORGORGafxdsfyPTTTPTTTTTzdcf111111111100001iiiiiiiiiiiiiiiiiiicsascccssdTsscsccd第四章:操作臂逆运动学4.4三轴相交的PIEPER解法3134323001230120141234123124333()()()111ORGORGafxdsfyPTTTPTTTTTzdcf13333232343323222343233343323222343()0()()1100011