南昌航空大学概率论期末考试-2012—2013上

2012—2013上一、调查某单位得知，购买空调的占%15，购买电脑占%12，购买DVD的占%20，其中购买空调与电脑的占%6，购买空调与DVD的占%10，购买电脑与DVD的占%5，三种电器都购买占%2。求下列事件的概率：（1）至少购买一种电器的；（2）至多购买一种电器的。解用CBA,,分别表示购买空调的，购买电脑占的，购买DVD的。则15.0)(AP；12.0)(BP；20.0)(CP；06.0)(ABP；10.0)(ACP；05.0)(BCP；02.0)(ABCP。（1）28.0)()()()()()()()(ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP（2）77.005.010.006.0)20.012.015.0(256.128.022)()()()(2)(2)(23)(22)(1)(1)(1)()(3)()()()(CAPBCPABPCPBPAPCBAPBAPACPCBPCBAPCBAPBAPACPCBPBAACCBP二、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是5/2。设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差。解3,2,1,0,)53()52()(33kCkXPkkkX0123p12527125541253612583,132,12511721,1258110,125270,0)(xxxxxxF125144)(XE，125270)(2XE，22)]([)()(XEXEXD三、设随机变量X的概率密度为其它,020,1)(xaxxf，求（1）常数a；（2）X的分布函数)(xF；（3）}31{XP；（4）)(XE，)(XD。解（1）由22)1()(120adxaxdxxf，得21a。（2）2,120,410,0)()(2xxxxxdttfxFx（3）414111)1()3(}31{FFXP（4）32)211()()(20dxxxdxxxfXE四、设),(YX的联合概率密度是其它,0),(,2),(Dyxyxf}1,0,0|),{(yxyxyxD，（1）求关于X与Y的边缘密度；（2）X与Y是否相互独立，并说明理由。解其它其它,010),1(2,010,2)(10xxxdyxfxX其它其它,010),1(2,010,2)(10yyydxyfyY（2）不独立。五、某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占%20，以X表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求}3014{XP。解20%20100)(XE，1680.020.0100)(XD，927.0933.01994.0)5.1()6.2(}1620301620162014{}3014{XPXP六、设nXXX,,,21是来自几何分布：10,,2,1,)1(}{1pkppkXPk的样本，试求未知参数p的最大似然估计。解似然函数是nknnikniiipppppL1)1()1()(11，令01)](ln[1pnkpnppLdnii，解得参数p的最大似然估计是niiknp1ˆ。七、设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位学生的成绩，算得平均成绩为5.66分，标准差为15分，问在显著性水平05.0下，是否可以认为这次考试全体学生的平均成绩为70分？给出检验过程。解原假设70:00H，备择假设70:00H。取统计量是)1(~/ntnSXT，拒绝域是),(2/t和),(2/t。现在0301.2)35()1(025.02/tnt，4.1T不在拒绝域中，即接受原假设。八、设)4,3(~NX，（1）求}32{XP；（2）决定a，使}{}{aXPaXP。解（1）1915.06915.015.0)5.0()0(}02321{}23323232{}32{XPXPXP（2）}{}{1}{aXPaXPaXP)23(}2323{}{5.0aaXPaXP，3a。九、设某机器生产的零件长度（单位：cm）),(~2NX，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x，样本方差16.02s。求的置信度为95.0的置信区间。解取统计量是)1(~/ntnSXT，的置信度为95.0的置信区间是)2131,10,7869.9())1((2/ntnSx