南昌大学概率论独立性

1复习联合分布函数离散型连续型),(),(),(),(},{211112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP——联合分布列——联合概率密度jijipyYxXP},{,2,1,jiyyxxjijipyYxXPyxF,},{),(yxdudvvufyxF),(),(dxdyyxfGyxPyxfyxyxFG),(}),({),(),(2X与Y的联合分布},{),(yYxXPyxF非负性规范性),(yxf2边缘分布离散型连续型,),()(dyyxfxfX(X,Y)关于X和Y的边缘分布),,()(xFxFX),()(yFyFY关于X的关于Y的关于X的关于Y的,}{1ijjiixXPppxxiXipxF)(xXdudyyufxF]),([)(3说明对于确定的1,2,1,2,当不同时，对应了不同的二维正态分布。对这个现象的解释是:边缘概率密度只考虑了单个分量的情况,而未涉及X与Y之间的关系.(X1,X2)∼N(1,2,,)X1∼X2∼(与参数无关)),(211N),(222N2221,4例5若二维随机变量(X,Y)的概率密度为,,,)sinsin1(21),(222yxyxeyxfyx求边缘密度函数.)(),(yfxfYX解dyyxfxfX),()(dyyxeeeyyx)sinsin(21222222;,2121222222xeydeexyx同理.,21)(22yeyfyY.)1,0(;)1,0(NYNX～～二维正态分布性质二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的正态分布的联合分布未必是正态分布但反之不真5X与Y之间的关系这个信息是包含在(X,Y)的联合概率密度函数之内的.在下一章将指出,对于二维正态分布而言,参数正好刻画了X和Y之间关系的密切程度.因此,仅由X和Y的边缘概率密度(或边缘分布),一般不能确定(X,Y)的概率密度函数(或概率分布)63.3随机变量的独立性设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),X和Y的边缘分布函数分别为FX(x),FY(y),若x,y,有F(x,y)=FX(x)FY(y)则称随机变量X和Y相互独立定义:其意义:事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立7离散型:X与Y相互独立即pij=pi.p.j(i,j=1,2,…)连续型:X与Y相互独立f(x,y)=fX(x)fY(y)P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}8vdudvfufyYXx)()(证“”：“”：若X与Y相互独立，则)()(),(yFxFyxFYXdvvfduufyYxX)()(),()()(),(yxyfxfyxfYX对任意实数),,()()(),(yxyfxfyxfYX对任意实数若则vdudvufyxFyx),(),(vdudvfufyYXx)()(dvvfduufyYxX)()(,)()(yFxFYX所以X与Y相互独立.对F(x,y)求二阶偏导即得联合密度9例1：设X,Y相互独立，它们的分布律分别为:10X3132P321Y414241P求:(X,Y)的联合分布律.解:(,)ijijPPXxYy2123412()()ijPXxPYy01(0,1)PPXY,XY相互独立(0)(1)PXPY从而：10依次可得(X,Y)的联合分布律为:XY32112212412201211221211从此例可得出：对离散型随机变量而言，已知联合分布律可求出其相应的边缘分布律，但反之则不然。而一旦已知X,Y相互独立的条件后，则可由边缘分布律直接求得其联合分布律。(1)(1)PXPY111341211(1,1)PPXY11例2设二维随机变量(X,Y)的分布律为:XY12312311819161若X与Y相互独立,求,之值12解:=P{X=2,Y=2}=P{X=2}P{Y=2})91)(31(=P{X=2,Y=3}=P{X=2}P{Y=3})181)(31(又由1ijijp31解得:91,9213例:设(,)XY的联合密度函数401,01(,)0xyxyfxy其它.(1)求分别关于X与Y的边缘密度函数;(2)X与Y是否独立?说明理由.解(1)10401201()(,)00Xxydyxxxfxfxydy其它其它10401201()(,)00Yxydxyyyfyfxydx其它其它(2)因为(,)()()XYfxyfxfy,则X与Y相互独立.14例3设X与Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的概率密度为:求P{Y≤X}解:oxy0.2D其它,00,5)(5yeyfyY15其它,00,2.00,255yxeyP{Y≤X}dxdyyxfD),(2.000525xydyedx=0.3697其它,02.00,502.01)(xxfXf(x,y)=fX(x)fY(y)16例4甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布.乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布.试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率.又甲先到的概率是多少？解:设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻以12时为起点,以分为单位,依题意,X~U(15,45),Y~U(0,60)17其它,04515,301)(xxfX所求为P(|X-Y|5)及P(XY)其它,0600,601)(xyfY解:设X为甲到达时刻，Y为乙到达时刻以12时为起点，以分为单位，依题意，X~U(15,45),Y~U(0,60)其它,0600,4515,18001),(yxyxf甲先到的概率由独立性先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率18解一：45155x5xdx]dy18001[P(|X-Y|5)xy015451060405yx5yx=P(-5X-Y5)=1/6=1/2xy01545106040yxP(XY)451560xdx]dy18001[19解二5|yx|dxdy18001P(XY)xy015451060405yx5yx)]2/30303010(23060[18001=1/2xy01545106040yx被积函数为常数，直接求面积=P(XY)16.P(|X-Y|5)20类似的问题如：试求其中一艘船要等待码头空出的概率.甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，21若收到两个相互独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰.求它们可以构成三角形的概率.在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的.求发生两信号互相干扰的概率.把长度为a的线段在任意两点折断成为三线段，长度为a22证例5试证:X与Y相互独立的充要条件是=0.设二维随机变量(X,Y)～N().,,,,222211(X,Y)的联合概率密度为])()()(2)[()1(212222222112112121),(yyxxeyxf1其边缘概率密度分别为xexfxX,21)(21212)(1yeyfyY,21)(22222)(2000若=0,“”:“”:若X和Y相互独立,,)()(),(yfxfyxfYX∴故X和Y相互独立.,)()(),(yfxfyxfYX=0.令x=1,y=2,,)()(),(2121YXfff22221211211123n维随机变量类似于对二维随机变量的理解定义将n个随机变量X1,X2,…,Xn构成一个n维向量(X1,X2,…,Xn)，则称其为n维随机变量。(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}其中x1,x2,…,xn为任意实数24对于n维离散型随机变量(X1,X2,…,Xn)，有P{X1=x1j1,X2=x2j2,…,Xn=xnjn}=pj1j2…jn若F(x1,x2,…,xn)为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数,且存在非负函数f(x1,x2,…,xn),使得对任意的实数x1,x2,…,xn有F(x1,x2,…,xn)211212...(,,,)nxxxnnfxxxdxdxdxn维离散型随机变量的联合分布律n维连续型随机变量的联合概率密度则称(X1,X2,…,Xn)为连续型随机变量f(x1,x2,…,xn)为n维随机变量的联合概率密度