二次根式全章复习与巩固——知识讲解(教案)

《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如(0)aa的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式.要点诠释：二次根式a有意义的条件是0a，即只有被开方数0a时，式子a才是二次根式，a才有意义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.要点诠释：（1）一个非负数a可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a2()a（0a），如222112(2);();()33xx（0x）.（2）2a中a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，2a一定有意义.（3）化简2a时，先将它化成a，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）2a与2()a的异同不同点：2a中a可以取任何实数，而2()a中的a必须取非负数；2a=a，2()a=a（0a）.相同点：被开方数都是非负数，当a取非负数时，2a=2()a.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如222,,3,abxab等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如2与8，由于8=22，2与8显然是同类二次根式.要点二、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法(0,0)ababab积的算术平方根化简公式：(0,0)ababab二次根式的除法=(0,0)aaabbb商的算术平方根化简公式：(0,0)aaabbb要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如abcdacbd.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)49.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22.【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1．当________时，二次根式3x在实数范围内有意义.【答案】x≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a时a才是二次根式.举一反三【变式】①242xx成立的条件是.②2233xxxx成立的条件是.【答案】①x≤0；(2422xxxx≤0.)②2≤3x.(20,30,xx≥2≤3x)2．x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)；(2).【答案】（1）;（2）.【解析】(1)要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；(2)要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a时a才是二次根式.举一反三：【变式】已知，求的值.【答案】根据二次根式的意义有将代入已知等式得3．当0≤x1时，化简21xx的结果是__________.【答案】1.【解析】因为x≥0，所以2x=x；又因为x1,即x-10,所以1(1)1xxx，所以21xx=x+1-x=1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a=a，同时联系绝对值的意义正确解答.举一反三【变式】（2015春•大冶市期末）已知﹣=2，则+的值为_____________．【答案】5.解：∵﹣=2，∴=+2，两边平方得，25﹣x2=4+15﹣x2+4，∴2=3，两边平方得4（15﹣x2）=9，化简，得x2=，∴+=+=5．故答案为：5．4.（2016•柘城县校级一模）把1aa中根号外的因式移到根号内的结果是().A．aB．aC．aD．a【答案】A.【解析】由二次根式的意义知10a，则0a211aaaaa.【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确a是非负数，反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。举一反三：【变式】（2014春•团风县校级期中）已知x为奇数，且=，求•．【答案】解：∵=，∴6≤x＜9，∵x为奇数，∴x=7，则•=8×=12．5.下列二次根式中属于最简二次根式的是（）.A.14B.48C.abD.44a【答案】A.【解析】选项B：48=43；选项C：有分母；选项D：44a=21a，所以选A.【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数.6.实数,,abc在数轴上对应的点如图：化简22()1()accbabc.【答案与解析】由数轴可知0,0,0,,acbacb并且ba,00,100,0,00,00acacccabbababcbc22()1()accbabc=1accbabc=1accbabc=1c【总结升华】本题不仅考查了二次根式和绝对值的化简问题，同时考查了学生的观察能力.通过观察确定,,abc的大小关系是本题的关键.举一反三：【变式】ABC的三边长为a、b、c，则22()()abcabc=.【答案】22ca.类型二、二次根式的运算7．（2016•来宾）下列计算正确的是（）A．﹣=B．3×2=6C．（2）2=16D．=1【答案】B.【解析】解：A、不能化简，所以此选项错误；B、3×=6，所以此选项正确；C、（2）2=4×2=8，所以此选项错误；D、==，所以此选项错误；【总结升华】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算法则是关键，要注意：①二次根式的运算结果要化为最简二次根式；②与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；③灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．举一反三【变式】计算：48(54453)833【答案】243610.8．（2015•昆山市一模）计算（1）（2）．【答案与解析】解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3﹣﹣2=﹣﹣3．【总结升华】此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．举一反三：【变式】计算【答案】9.化简20102011(32)(32).【答案与解析】201020102010=(32)(32)(32)(32)(32)(32)1(32)32.原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.10.已知a、b、c为△ABC的三边长，化简【答案与解析】∵a、b、c为△ABC的三边长，∴原式【总结升华】利用三角形任意两边之和大于第三边和进行化简.11.已知2231,12xxxx求的值.【答案与解析】2231,1=30,=(1)1313331=33xxxxxxx原式当时，原式【总结升华】化简求值时要注意x的取值范围，如果未确定要注意分类讨论.举一反三【变式】已知ab=-3,ab=1,求abba的值.【答案】∵ab=-3,ab=1，∴0a,0b11+==-(+)=-=3--abababbabaab原式.6.若0x，化简___________xxyxyyxyyxxy.【答案与解析】【总结升华】把分子分母分别分解因式，然后约分，可以简化化简步骤.()()=()()xxyyxyyxyxxyyxyxxyxvyxxyxyxy原式举一反三：【变式】当22211221123aaaaaaaa时，求的值.【答案】123,10.23aa由得22(1)(1)1=11(1)aaaaaaa原式，将12323a代入，原式=3.