《概率论与数理统计》课后习题解答

1《概率论与数理统计》课后习题解答习题一3．设A,B,C表示三个事件,用A,B,C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生,B与C不发生;（2）A与B都发生,而C不发生;（3）A,B,C都发生;（4）A,B,C都不发生;（5）A,B,C中至少有一个发生;（6）A,B,C中恰有一个发生;（7）A,B,C中至少有两个发生;（8）A,B,C中最多有一个发生.解：（1）CBA；（2）CAB；（3）ABC；（4）CBA；（5）CBA；（6）CBACBACBA；（7）BCACAB；（8）BCACAB或CBCABA．5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小的号码为5的概率;（2）求最大的号码为5的概率.解：设事件A表示“最小的号码为5”，事件B表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得（1）121)(31025CCAP；（2）201)(31024CCBP．6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求：（1）任取3件产品恰有1件是废品的概率;（2）任取3件产品没有废品的概率;（3）任取3件产品中废品不少于2件的概率.解：设事件iA表示“取出的3件产品中恰有i件废品”)3,2,1,0(i，由概率的古典定义得2（1）0855.0)(32002194161CCCAP；（2）9122.0)(320031940CCAP；（3）0023.0)(32003611942632CCCCAAP．8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率：A表示“这三个数字中不含0和5”；B表示“这三个数字中包含0或5”；C表示“这三个数字中含0但不含5”．解：由概率的古典定义得157)(31038CCAP；158)(1)(APBP；307)(31028CCCP9．已知5.0)(AP,6.0)(BP,8.0)(ABP，求)(ABP和)(BAP．解：4.08.05.0)|()()(ABPAPABP)]()()([1)(1)()(ABPBPAPBAPBAPBAP3.0)4.06.05.0(110．已知4.0)(BP,6.0)(BAP,求)(BAP．解：314.014.06.0)(1)()()()()(BPBPBAPBPBAPBAP11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少?解：设事件BA,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知3.0)()(,9.0)(BPABPAP，则所求的概率为319.03.0)()()|(APABPABP12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码．（1）求他拨号不超过三次而接通的概率;3（2）若已知最后一个数字是奇数，那么他拨号不超过三次而接通的概率又是多少?解：设事件A分别表示“他拨号不超过三次而接通”，事件B分别表示“最后一个数字是奇数”，则所求的概率为（1）103819810991109101)(AP（2）53314354415451)|(BAP13．一盒里有10个电子元件,其中有7个正品,3个次品.从中每次抽取一个,不放回地连续抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率．解：设事件iA表示“第i次取得次品”（4,3,2,1i），则所求的概率为)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP20176879210314．一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱,三厂产品的次品率依次为1.0,2.0,3.0,从这10箱中任取一箱,再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率．解：设事件321,,AAA分别表示“产品是甲，乙，丙厂生产的”，事件B表示“产品是正品”，显然，事件321,,AAA构成一个完备事件组，且2.0102)(,3.0103)(,5.0105)(321APAPAP7.03.01)|(,8.02.01)|(,9.01.01)|(321ABPABPABP由全概率公式得83.07.02.08.03.09.05.0)|()()(31iiiABPAPBP15．甲、乙、丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹,它们命中敌机的概率都是2.0.飞机被击中1弹而坠毁的概率为1.0,被击中2弹而坠毁的概率为5.0,被击中3弹必定坠毁.（1）求飞机坠毁的概率;（2）已知飞机已经坠毁,试求它在坠毁前只被命中1弹的概率.解：设事件iA表示“飞机被击中i弹而坠毁”)3,2,1(i，事件B表示“飞机坠毁”，显然，事件321,,AAA构成一个完备事件组，由二项概率公式计算得4008.0)2.0()(,096.0)8.0()2.0()(,384.0)8.0()2.0()(33331223221131CAPCAPCAP1)|(,5.0)|(,1.0)|(321ABPABPABP（1）由全概率公式得0944.01008.05.0096.01.0384.0)|()()(31iiiABPAPBP（2）由贝叶斯公式得407.00944.01.0384.0)|()()|()()|(31111iiiABPAPABPAPBAP16．设甲袋中装有5个红球,4个白球;乙袋中装有4个红球,5个白球.先从甲袋中任取2个球放入乙袋中,然后从乙袋中任取一个球,求取到是白球的概率.解：设事件iA表示“从甲袋取出的2个球中有i个白球”)2,1,0(i，事件B表示“从乙袋中取出的一个球是白球”，显然，事件321,,AAA构成一个完备事件组，且29254)(CCCAPiii，115)|(iABPi，)2,1,0(i，由全概率公式得5354.09953115)|()()(202925420iiiiiiiCCCABPAPBP17．已知男子有%5是色盲患者,女子有%25.0是色盲患者.现在从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?解：设事件A表示“此人是男性”，事件B表示“此人是色盲患者”，显然，事件AA,构成一个完备事件组，且5.0)()(APAP，%25.0)|(%,5)|(ABPABP由贝叶斯公式得9524.02120%25.05.0%55.0%55.0)|()()|()()|()()|(ABPAPABPAPABPAPBAP18．设机器正常时生产合格品的概率为%98,当机器发生故障时生产合格品的概率为%30,而机器正常（即不发生故障）的概率为%95.某天,工人使用该机器生产的第一件产品是合格品,求机器是正常的概率.解：设事件A表示“该机器正常”，事件B表示“产品是合格品”，显然，事件AA,构成一个完备事件组，且5%30)|(%,98)|(%,5)(1)(%,95)(ABPABPAPAPAP由贝叶斯公式得984.0%30%5%98%95%98%95)|()()|()()|()()|(ABPAPABPAPABPAPBAP19．三人独立地去破译一个密码,他们能够译出的概率分别是51,31,41,问能将密码译出的概率是多少?解：设事件CBA,,分别表示“第一人，第二人，第三人破译出密码”，显然事件CBA,,相互独立，且41)(,31)(,51)(CPBPAP，则所求的概率为53)411)(311)(511(1)()()(1)(CPBPAPCBAP20．加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是02.0,03.0,05.0和03.0.假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.解：设事件iA表示“第i道工序加工出次品”)4,3,2,1(i，显然事件4321,,,AAAA相互独立，且03.0)(,05.0)(,03.0)(,02.0)(4321APAPAPAP，则所求的概率为)()()()(1)(43214321APAPAPAPAAAAP124.0)03.01)(05.01)(03.01)(02.01(121．设第一个盒子里装有3个蓝球,2个绿球,2个白球;第二个盒子里装有2个蓝球,3个绿球,4个白球.现在独立地分别从两个盒子里各取一个球.（1）求至少有一个蓝球的概率;（2）求有一个蓝球一个白球的概率;（3）已知至少有一个蓝球,求有一个蓝球一个白球的概率.解：设事件21,AA表示“从第一个盒子里取出的球是篮球，白球”，事件21,BB表示“从第二个盒子里取出的球是篮球，白球”，显然事件iA与jB相互独立)2,1;2,1(ji，且94)(,92)(,72)(,73)(2121BPBPAPAP，则所求的概率为6（1）95)921)(731(1)()(1)(1111BPAPBAP；（2）631692729473)()()()()(12211221BPAPBPAPBABAP；（3）)()])([()](|)[(11111221111221BAPBABABAPBABABAP3516956316)()(111221BAPBABAP22．设一系统由三个元件联结而成（如图51）,各个元件独立地工作,且每个元件能正常工作的概率均为p(10p).求系统能正常工作的概率.图51解：设事件iA表示“第i个元件正常工作”)3,2,1(i，事件B表示“该系统正常工作”，显然，事件321,,AAA相互独立，且pAPi)(，则所求的概率为)()()()(])[()(32132313231321AAAPAAPAAPAAAAPAAAPBP3232132312)()()()()()()(ppAPAPAPAPAPAPAP24．一批产品中有%20的次品,进行放回抽样检查,共取5件样品.计算：（1）这5件样品中恰有2件次品的概率;（2）这5件样品中最多有2件次品的概率.解：设事件A表示“该样品是次品”，显然，这是一个伯努利概型，其中%80)(%,20)(,5APAPn，由二项概率公式有（1）2048.0%)80(%)20()2(32255CP（2）942.0%)80(%)20()(2055205kkkkkCkP1237习题二2.离散型随机变量X的概率函数为：（1）()2,1,2,,100;iPXiai（2）()2,1,2,,iPXiai分别求（1）、（2）中a的值。解：（1）121)21(22)(10010011001aaiXPiii，解得)12(21100a；（2）1122)(11001aaaiXPiii，解得31a．3.对某一目标进行射击，直到击中为止，若每次射击命中率为p，求射击次数的概率分布。解：设随机变量X表示“直接击中目标时的射击次数”，显然，X可取,2,1，故X的概率分布为：,2,1,)1()(1kppkXPk4.一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，且各个设备的使用是相互独立的。求在同一时刻被使用的设备数的概率分布，并求在同一时刻：（1）恰有2个设备被使用的概率；（2）至少有3个设备被使用的概率；（3）最多有3个设备被使用的概率；（4）至少有1个设备被使用的概率。解：设随机变量X表示“在同一时刻被使用的设备数”，显然，),(~pnBX，其中1.0,5pn，故X的概率分布为5,,2,1,0,)9.0()1.0()()(555kCkXPkPkkk（1