高等数学1试(附答案)

第1页共6页得分评阅人一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1．由曲线2cosr所围成的图形的面积是。2．设由方程22xy所确定的隐函数为)(xyy，则2ydydxx。3．函数2sinyx的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2441()3xxox。4．12011xdxx。5．函数xxycos2在区间20，上的最大值为36。6．222222lim12nnnnnnnn=4。得分评阅人二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分）1.设21cossin,0()1,0xxxfxxxx，则0x是()fx的D。A．可去间断点B．跳跃间断点C．振荡间断点D．连续点2.设()232xxfx，则当0x时，下列结论正确的是B。A．是等价无穷小与xxf)(B．同阶但非等价无穷小与xxf)(C．高阶的无穷小是比xxf)(D．低阶的无穷小是比xxf)(题号一二三四五六七八九十总分得分暨南大学《高等数学I》试卷A考生姓名：学号：第2页共6页3.211dxxxC。A．不存在B．0C．2D．4.设()fx具有二阶连续导数，且(0)0f，0lim()1xfx，则下列叙述正确的是A。A．(0)f是()fx的极大值B．(0)f是()fx的极小值C．(0)f不是()fx的极值D．(0)f是()fx的最小值5.曲线2cosxytdt的全长为D。A．1B．2C．3D．46.当,ab为何值时，点(1,3)为曲线32yaxbx的拐点？A。A．32a，92bB.32a，92bC．32a，92bD.32a，92b7.曲线2xyx的凸区间为D。A.2(,)ln2B.2(,)ln2C.2(,)ln2D.2(,)ln2得分评阅人三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分，第6~7题每小题8分，共46分）1.21limcosxxx解：210coslim,1tttxt原式令)00(coslnlim20型ttte（3分）ttttecos2sinlim012e（6分）第3页共6页2.222,arctan)1ln()(dxydttytxxyy求确定所由参数方程设函数。解：)]1[ln()arctan(2tdttddxdy2212111ttt2t，（3分）22dxyddxdxdyddtdxdttd1)2(212121tttt412．（6分）3.2(1)xxxedxe．解：原式1()1xxde（2分）=111xxxdxee=11()11xxxxxdeeee=ln11xxxxeCee（6分）4.求401xdxx解：令(0)xtt，则22xtdxtdt，（2分）2422200002201222(1)11112[ln1]2ln32xttdxtdtdttdttttxttt（6分）5.设曲线()nfxx在(1,1)处的切线与x轴的交点为(,0)nx，求nnnx)(lim。解：11(1)nxfnxn，所以()fx在点(1,1)处的切线方程为：暨南大学《高等数学I》试卷A考生姓名：学号：第4页共6页(1)1ynx……..(*)(2)分由题意知切线(*)与x轴的交点为(,0)nx，即nxxnnn111)1(0(5)分从而可得：nnnnnnx)11(lim)(lim＝1e．(6)分6.设连续函数)(xf满足xxfxf2sin)()(，求积分222()sinIfxxdx．解：方程两端同乘2sinx并从2积分到2，得：2222222224440()sin()sinsin2sin2(*)fxxdxfxxdxxdxxdxI)3(分222()sinfxxdxtx又令222222()sin()()()sinfttdtfttdt（5分）由(*)得：22241()sin22IfxxdxI13122422316．(8)分7.设()fx连续，10()()Fxftxdt，且0()limxfxAx（A为常数），求()dFxx。解：由Axxfx)(lim0知：(0)0f。utx令，xut0:10:则，xdudtxdtdu第5页共6页xxduufdttxfxF010)()()(于是)0()(10xduufxx可见：0,00,)(1)(0xxduufxxFx(4)分时当0x，2002)()()(1)(1)(xduufxxfxfxduufxxFxx；)6(分时当0x，0()(0)(0)limxFxFFx0002001()0lim()lim()()1lim,22xxxxxfuduxxfuduxfxAx所以：02()(),0(),02xxfxfuduxxFxAx．)8(分得分评阅人四、应用题（共1小题，每小题9分，共9分）设直线yax)10(a与抛物线2xy所围成的图形为1D，它们与直线1x所围成的图形为2D，若1D、2D同时绕x轴旋转一周得到一旋转体，试确定a的值，使该旋转体的体积最小．解：∵axyxax20:1D，21:xyaxxa2Dadxxax0222)()(1Vadxxxa04221222)()(adxaxx2V1224adxxax∴12240422aadxxaxdxxxaa21)(VVV132505323553aaxaxxxa2D1DxyaO12xyaxy暨南大学《高等数学I》试卷A考生姓名：学号：第6页共6页5315425aa……………..(5)分由daa)(dVaa32344，令0adadV()得：321a．………….(7)分又由3122aada2dV()3312162161260333233aa可见：当321a时，该旋转体的体积最小．………………..(9)分得分评阅人五、证明题（共1小题，每小题6分，共6分）设函数)(xf在ba,上连续，在ba,内可导，且()0fx，试证存在),(,ba，使得()()bafeeefba证明：设()xgxe，则()()()()()()fbfafgbgag，即()()()bafbfafeee.………………..（3分）又因为存在(,)ab,使得()()()(),fbfabaf……………………..（4分）所以()()()babaffeee，即结论成立.………………..（6分）