4.2方差

14.2方差一、离散型随机变量的方差二、连续型随机变量的方差三、方差的性质四、常见分布的方差2例如对一射手的技术评定,除了要了解命中环数的平均值,同时还必须考虑稳定情况:命中点分散还是比较集中?在实际问题中还常关心随机变量的平均偏离程度平均偏离程度用E[|XE(X)|]表示,但对绝对值的处理不方便,故通常用E{[XE(X)]2}来度量这一偏离程度3为随机变量X的标准差或均方差,记为(X)定义:设X是一个随机变量,若E{[XE(X)]2}存在,则称E{[XE(X)]2}为X的方差,记为D(X)或Var(X),称即D(X)=E{[XE(X)]2})(XD数学期望反映了随机变量的平均值,方差衡量随机变量的平均偏离程度)()(XDX采用平方是为了保证一切差值X-E(X)都起正面的作用4若X的取值比较分散，则方差较大.若方差D(X)=0,则随机变量X以概率1取常数值.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.若X的取值比较集中，则方差较小；D(X)=E{[XE(X)]2}512)]([)(kkkpXExXD二维:ijijipXExXD2)]([)(ijijjpYEyYD2)]([)(离散型随机变量的方差:6连续型随机变量的方差:dxxfXExXD)()]([)(2二维:dxdyyxfXExXD),()]([)(2dxdyyxfYEyYD),()]([)(27D(X)=E{[XE(X)]2}=E{X22XE(X)+E2(X)}=E(X2)2E(X)E(X)+E2(X)=E(X2)E2(X)推论:8例1甲、乙两名战士,据以往练习记录的总结,他们打靶命中环数X、Y的分布律分别为:X678910P0.10.20.40.20.1Y678910P0.20.20.20.20.2问哪一名战士的射击技术稳定?9解:E(X)=60.1+70.2+80.4+90.2+100.1=8E(Y)=60.2+70.2+80.2+90.2+100.2=8D(X)=(68)20.1+(78)20.2+(88)20.4+(98)20.2+(108)20.1=1.210D(Y)=(68)20.2+(78)20.2+(88)20.2+(98)20.2+(108)20.2=2∴D(X)D(Y)故甲战士比乙战士的技术稳定11例2设随机变量X服从几何分布，概率函数为P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，n其中0p1,求Var(X)解：记q=1-p11)(kkkpqXE1)'(kkqp1)'(kkqp)'1(qqpp1求和与求导交换次序无穷递缩等比级数求和公式12Var(X)=E(X2)-[E(X)]21122)(kkpqkXE])1([1111kkkkkqqkkp1)(kkqqp+E(X)pqqqp1)1(pqqp1)1(23ppq12222pp22pp21p21pp13求:D(X)解:例3设连续型随机变量X的密度函数为:]1,0[0]1,0[2)(xxxxf181322122)()()]([)()(22101022222xdxxxdxxdxxxfdxxfxXEXEXD14方差的性质:1.D(X)≥0若c是常数,则D(C)=02.设k是常数,则D(kX)=k2D(X)∵D(kX)=E(k2X2)E2(kX)=k2E(X2)k2E2(X)=k2[E(X2)E2(X)]=k2D(X)15=E(X2)2E(XY)+E(Y2)[E2(X)2E(X)E(Y)+E2(Y)]若X与Y独立,则E(XY)=E(X)E(Y)故,D(XY)=D(X)+D(Y)∵D(XY)=E[(XY)2]E2(XY)=E(X22XY+Y2)[E(X)E(Y)]2=D(X)+D(Y)2[E(XY)E(X)E(Y)]3.若X与Y独立,则D(XY)=D(X)+D(Y)16常见分布的方差:1.两点分布X～B(1,p):E(X)=pE(X2)=02(1p)+12p=p则由D(X)=E(X2)E2(X)得:D(X)=pp2=p(1p)X01P1pp172.二项分布X～B(n,p):令X=X1+X2+…+Xn其中Xi(i=1,2,…,n)相互独立,均服从参数为p的两点分布则有:D(Xi)=p(1p)niiXDXD1)()(故,=np(1p)E(X)=np183.泊松分布:0!)(kkkekXE022!)(kkkekXE11)!1(kkkke令i=k1,得:02!)1()(iiieiXE=(+1)则有:D(X)=E(X2)E2(X)=194.均匀分布X～U[a,b]:2)(baXEdxabxXEba1)(22)(3122aabb则有:D(X)=E(X2)E2(X)2)(121ab=205.指数分布1)(XEdxexXEx022)(22则有:D(X)=E(X2)E2(X)21=216.正态分布X～N(,2):E(X)=dxexXEx222)(2221)(令tx,得:E(X2)=2+2则有:D(X)=E(X2)E2(X)=222例4有n把钥匙,其中只有一把能打开门上的锁,设抽取钥匙是等可能的,若每把钥匙试开一次后除去,求试开次数的数学期望及方差解:令X表示试开次数,则X=1,2,…,n{X=i}:则有:“从第一次到第i1次均未打开门,第i次才打开”23XP123…nn1n1111nnnn1n121121nnnnn11213223121nnnnnn…24nnnnXE11211)(即:P{X=i}=nn2121nnnnnXE11211)(2222nn22221)1(1111inCCinin得:n125D(X)=E(X2)E2(X)2)21(6)12)(1(nnn1212n6)12)(1(nnnnnn6)12)(1(26例5已知连续型随机变量X的分布函数为:4,140,40,0)(xxxxxF求E(X)、D(X)解:其它,040,41)()(xxFxf27则dxxxfXE)()(dxx404=2dxxfxXE)()(22dxx4024316D(X)=E(X2)E2(X)223163428由于相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布,即可令Z~N(,2)例6设X与Y相互独立,且X~N(1,2),Y~N(0,1),求Z=2XY+3的概率密度解:E(Z)=E(2XY+3)=2E(X)E(Y)+3=210+3=5=故只需确定Z的期望及方差2即可29D(Z)=D(2XY+3)由X与Y相互独立,得:D(Z)=22D(X)+D(Y)+0=222+1=9=2222)(21)(zZezf18)5(2231ze