6.2数理统计中几种常用的分布

16.2数理统计中几种常用的分布2分布一、二、t分布三、F分布22分布一、定义:设相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：所服从的分布为自由度为n的分布.nXXX,,,21222212nXXX22分布是由正态分布派生出来的一种分布.)(~22n记为32分布的密度函数为000)2(21)(2122yyeynyfynn来定义.其中伽玛函数通过积分0,)(01xdttexxt)(x42由分布的定义，不难得到：这个性质叫分布的可加性.2),,(2N1.设相互独立,都服从正态分布nXXX,,,21则)(~)(121222nXnii)(~21221nnXX),(~),(~222121nXnX2.设且X1,X2相互独立，则5nDnE2,,22则)1,0(~,1,0NXDXEXiii证：niEXEXDXiii,2,1,213)(2242.)(12122nEXXEEniinii所以.2)(12122nDXXDDniinii,12iEX如果.3)(~22n64.应用中心极限定理可得，若nnX2的分布近似正态分布N(0,1).，则当n充分大时，)(~2nX若7分布的密度函数的图形如右图.)(2n8χ2(n)分布的上分位点可以查附表5.χ2(n)分布的上分位点图形如右图.χ2分布的分位点对于(0,1)给定,称满足条件:)(222)()(ndxxfnP的点χ2(n)为χ2(n)分布的上分位点.9例1:求。，)20()10(21.0205.0，，查得解：从附表412.28)20(307.18)10(521.0205.010T的密度函数为：tntnnntfn,)1()2(]2)1[()(212二、t分布定义:设X～N(0,1),Y～,且X与Y相互独立，则称变量nYXT)(2n所服从的分布为自由度为n的t分布.记为T～.)(nt11T～t(n),对于(0,1)给定,称满足条件:t分布的分位点的点t(n)为t分布的上分位点.)()()(ntdttfntTPt分布的上分位点图形如右图.t分布的上分位点可以查附表4.12具有自由度为n的t分布的随机变量T的数学期望和方差为:E(T)=0;D(T)=n/(n-2),对n2当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形.0);(nxfLimxt分布的密度函数关于x=0对称，且13不难看到，当n充分大时，t分布近似N(0,1)分布.但对于较小的n，t分布与N(0,1)分布相差很大.-2-1o2-3n=1n=4n=10xf(x)310.5图6－414例2:设T～t(8),且P{|T|≤x0}=0.95,试求x0的值.解:P{|T|x0}=1-P{|T|≤x0}=1-0.95=0.05,P{|T|x0}=P{Tx0}+P{T-x0}由t分布的概率密度函数的对称性知P{Tx0}=P{T-x0}于是得P{|T|x0}=2P{Tx0}=0.05即P{Tx0}=0.025,x0=t0.025(8).查表得t0.025(8)=2.3060.即x0=2.3060.15即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.0001))(()()()()(2222212112121212121xxxxxfnnnnnnnnnnnnnX的数学期望为:2)(22nnXE若n22若X~，X的概率密度为),(21nnF称随机变量则分布三、F独立，若YXnYnX,),(~),(~2212).,(~,2121nnFFFnn分布，记作的是21//FnYnX所服从的分布为自由度161.00.20.40.60.82.03.04.0o(n1，n2)xf(x)(10，100)(10，10)(10，4)fx的图形如下图所示．17F～F(m,n),对于(0,1)给定,称满足条件:F分布的分位点的点F(m,n)为F分布的上分位点.),()(),(nmFdxxfnmFFPF分布的上分位点图形如右图.F分布的上分位点可以查附表6.),(21nnF18设F～F(m,n),记Z=1/F,则:Z～F(n,m).由F分布定义证明:F分布的性质性质1.nYmXF//其中X∼χ2(m),Y～χ2(n),且X与Y相互独立.),(//mnFZmXnYZ～19}),(11{211nnFFP所以),(1),(),(~/12111212nnFnnFnnFF所以，又因为),(1),(12211nnFnnF即357.080.21)12,9(1)9,12(05.095.0FF例：),(~21nnFF证明：若}),(11{)},({1211211nnFFPnnFFP}),(11{1211nnFFP),(/1),(.212211nnFnnF性质20由F分布定义,∴F=T2～F(1,n).设T～t(n),则:T2～F(1,n).由t分布定义证明:性质3..)()1(/)(1/)1(/1/222222相互独立与且nnnnYXTF其中X∼N(0,1),Y～χ2(n),且X与Y相互独立.nYXT/