线性代数思维导图全6页及其总结

A1BnmXnnXnnnXXn-n!n(Vandermonde)()()1A=A2()3()4()5()06()05+37()008()k()nNNN.mmap-2009-11-7-mn=0=0:A+B=B+A:A+(B+C)=(A+B)+CAA+0=0+A=AA-AA+(-A)=0klAB1A=A,0A=0k(lA)=(kl)Ak(A+B)=kA+kB(k+l)A=kA+lAnA(BC)=(AB)C(A+B)C=AC+BCC(A+B)=CA+CBk(kA)B=A(kB)0ABABE(E+A)(E+A)=E*exp(2)+2A+A*exp(2)Ak*Al=0AXA=0|A|X|A|=0|A|=0|A|=0ad-bc=0a/b=c/dkEnEAAkAk=Xn-1A=1XAAnnBAB=BA=EABA0A*XA=|A|XEABA+BnAAAX=BXA=BXAA,B.mmap-2009-11-7-+=ij(ij)i(i)1/ikj(jki)ikj=BAABABBAABBCACr0AAB=BA=E|A|0AmXnmnr(A)=mnmr(A)=n689.mmap-2009-11-8-=0k1=k2=...=ks=0nn0XOY(1)~(2)~12(1)(2)AB~~~~--~(RREF)1~~00RREF.mmap-2009-11-9-nmm,n......0b=000m=nCramer~~Ax=b=1bAr(A)=nr(A)nbA~~+Ax=b~~AAnmnAmxn~~~RREFrn-rn-rn-rAx=0==8232122.mmap-2009-11-11-nnn+1~rVnnn+11234=1A=1=0|A|=1|A|=-1.mmap-2009-11-12-线性代数第一章对角矩阵相乘（必须同阶），等于各位置元素直接相乘'(A*B)的转置等于B的转置乘以A的转置，注意B在前，顺序换了，该性质可以推广到多元若矩阵A可逆，则其转置矩阵也可逆，若矩阵A，B可逆，则两者乘积也可逆对角矩阵的逆矩阵为其对应位置的各数变成其倒数如何求逆矩阵对称矩阵：对称位置的元素相等反对称矩阵：对称位置元素相反，主对角线上元素全部为零第三章有一线性方程组，其系数矩阵为A，增广矩阵为B，其有n条方程有解的充要条件是rank(A)=rank(B)有无穷多组解的充要条件是rank(A)=rank(B)n有惟一解的充要条件是rank(A)=rank(B)=n无解的充要条件是rank(A)rank(B)若系数矩阵为方阵，方程组有唯一解的充分条件为det(A)不等于0当系数矩阵为方阵时，要马上联系到行列式有一齐次方程组，AX＝0，其含n条方程，其必定有解当rank(A)=n,齐次方程组仅有零解当rank(A)=rn,齐次方程组有无穷多解第五章设A为n阶方阵，X为n维非零向量，k为常数若AX=kX则称X为A的特征向量，k为特征向量X对应的特征值，矩阵A-kE称为A的特征矩阵det(A-kE)=0称为特征方程求特征向量和特征值先解A的特征多项式det(A-kE)=0，并求出特征值（可能有多个，也可能有重根）再将特征值逐个带入，解线性齐次方程组(A-k1)X=0求出基础解系，其线性组合即为特征值k1对应的全体特征向量det(A)的值等于A所有特征值的乘积，矩阵A主对角线上元素之和(称为矩阵A的迹)等于其所有特征值之和(重根要计算多次)若k为A的特征值，X为其对应的特征向量，设有多项式f(x)=a0+a1x+...+am*x(m)次方，则方阵f(A)=a0E+a1A+...+amA(m次方)的特征值为f(k),X仍为其相应的特征向量注意例5.4注意A必须为方阵A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使P-1AP=B则称A与B相似，记作A~B，P被称为A变为B的相似变换矩阵相似矩阵秩相同相似矩阵行列式相等相似矩阵都可逆或不可逆，当它们都可逆时，它们的逆矩阵也相似相似矩阵有相同的特征多项式，从而特征值也相同若一个矩阵能与对角矩阵相似，则称此矩阵可对角化n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件：A的每个特征值对应的线性无关的特征向量的最大个数等于该特征值的重数注意P的逆矩阵在前施密特正交法将给定的一组基转化成正交基将给定的一个向量组变为单位正交的向量组先用施密特正交法将其正交化，再将其单位化求齐次方程组的解空间W的正交基，并将其扩充参见P95例5.8若矩阵A与其转置矩阵的乘积为单位矩阵，则称A为正交矩阵，即A的逆矩阵与其转置矩阵相等A为正交矩阵的充要条件是其列（行）向量组是Rn中的单位正交基若A为正交矩阵，则A的逆矩阵也为正交矩阵若A,B为同阶正交矩阵，则AB也为正交矩阵若A为正交矩阵，则det(A)=+-1实对称矩阵一定能与对角矩阵相似（可对角化），并且相似变换矩阵可取为正交矩阵实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必定正交第四章线性表示向量B可由向量a1,a2,•••,am线性表示的充要条件是rank(a1,a2,•••,am)=rank(a1,a2,•••,am,B)向量B可由向量a1,a2,•••,am惟一线性表示的充要条件是rank(a1,a2,•••,am)=rank(a1,a2,•••,am,B)=m注意将其与非齐次线性方程组联系起来线性相关当向量组构成的齐次线性方程组只有惟一解（零解）时，向量组线性无关当向量组构成的齐次线性方程组有无数非零解时，向量组线性相关向量组线性相关含有零向量的向量组线性相关仅含一个向量a的向量组线性相关的充要条件是a=0若n维向量组线性无关，那么把每个向量任意添加s个分量后，所得向量组也线性无关向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由向量组织其他向量线性表示若n维向量组线性相关，那么取这些向量的前r个分量(rn)组成的向量组也是线性相关的注意这条例题的思想相册内有清晰版与齐次线性方程组联系起来有n维向量组A，若它的一个部分向量组A1线性无关，且A1与A等价，称A1是A的最大线性无关组A1是A的最大线性无关组的充要条件rank(A)=rank(A1)=r任意A1包含r个向量r同时称为向量组A的秩有向量组A和向量组BB可由A线性表示的充要条件rank(A|B)=rank(A)A与B等价的充要条件是rank(B)=rank(A)=rank(A|B)若B可由A线性表示，则rank(B)小于等于rank(A)求齐次线性方程组的一个基础解系齐次方程组的一个基础解系是由一组线性无关的向量组成先用行初等变换简化系数矩阵得到同解方程组再令x1,x2,x3...在等号左边，c1,c2,c3....按顺序出现在等号右边最后写成向量形式写成向量形式相册中有清晰版求非齐次线性方程组的通解非齐次方程组的通解是有对应齐次方程组的基础解系加上其一个特解先用行初等变换将增广矩阵化为阶梯形得同解方程组再令x1,x2,x3...在等号左边，c1,c2,c3....按顺序出现在等号右边，其中常数项在最右边将其按齐次线性方程组得方法写成向量形式，其中常数项组成得向量即为X*，c1,c2,c3....等系数组成得向量组为对应齐次方程组的通解子空间向量组A与B等价的充要条件是L(A)=L(B),向量A组可由向量组B线性表示的充要条件是L(A)属于L(B)其中L(A)表示由A生成的子空间设向量组A是子空间V中的线性无关组，且V中任意向量是向量组A的线性组合，则称A为子空间的一组基一组基中向量的个数称为子空间的维数注意例4.23求已知向量在某组基下的坐标例4.29第二章n阶矩阵的行列式与其转置矩阵的行列式相等上三角矩阵、下三角矩阵和对角矩阵的行列式的值等于其主对角线上所有元素的乘积行列式是对于方阵而言的，不是方阵的矩阵没有行列式交换矩阵两行、将矩阵的某行乘以非零数、将矩阵的某行乘以数加到矩阵的另一行，称为行初等变换，类比可以定义列初等变换交换行列式的两行（列），行列式的值变号若行列式的两行（列）想同,行列式的值为零把行列式的某行（列）乘以一个数加到行列式的另一行（列），行列式的值不变若行列式的某两行（列）成比例，行列式的值为零范德蒙行列式德值等于所有的差（ai－aj）邓乘积（1小于等于j小于i小于等于n）要留意转置之后的范德蒙行列式矩阵经初等变换之后秩不变，且称变换之前的矩阵和变换之后的矩阵等价通过行初等变化，可得阶梯形矩阵通过行初等变换和列初等变换，可得等价标准型等价标准型对于n阶矩阵A（方阵），下列条件等价A是可逆矩阵A的秩等于ndetA不等于零A可表示为有限个初等矩阵的积用初等变换逆矩阵将nX2n矩阵(A|E)进行一系列行初等变换，直到变成(E|A-1)，即得方阵A的逆矩阵注意：A必须是方阵且只可以进行行初等变换det(A*B)=detA*detB若A是可逆矩阵则有det(A-1)=(detA)-1都是针对n阶方阵而言行列式行与列的地位是对称的，即对行成立的性质对列也成立，矩阵则不然