华东交通大学概率论第2章

课件制作：应用数学系概率统计课程组概率论与数理统计第二章一维随机变量及其分布一、随机变量及其分布二、离散型随机变量的分布函数三、离散型随机变量的概率函数四、连续型随机变量及其概率密度五、随机变量的函数的分布2.1随机变量及其分布2.1.1随机变量的概念2.1.2随机变量的分布函数为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的不同结果．例:电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个变量X来描述．例:抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用一个变量来描述．反面向上正面向上,0,1)(X2.1随机变量及其分布例:(1)随机地掷一颗骰子，ω表示所有的样本点,ω:出现1点出现2点出现3点出现4点出现5点出现6点X(ω):123456(2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止，ω表示射击次数，则Ω:射击1次射击2次......射击n次......X(ω):12......n......(3)某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时间到达车站,ω表示该旅客的候车时间,Ω:候车时间X(ω):[0,10]2.1.1随机变量的概念定义:设E是一随机试验，是它的样本空间，若则称上的单值实值函数X()为随机变量．随机变量一般用X,Y,Z,或小写希腊字母,,表示.)(X实数按一定法则特别离散型连续型取值为有限个和至多可列个的随机变量.可以取区间内一切值的随机变量.奇异型（混合型）连续型非离散型离散型随机变量随机变量随机变量是R上的映射，这个映射具有如下的特点：定义域:随机性:随机变量X的可能取值不止一个，试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值．概率特性:X以一定的概率取某个值或某些值．引入随机变量后，用随机变量的等式或不等式表达随机事件．如，若用X表示电话总机在9:00＿10:00接到的电话次数，}100{X或)100(X——表示“某天9:00＿10:00接到的电话次数超过100次”这一事件．则再如，用随机变量反面向上正面向上,0,1)(X描述抛掷一枚硬币可能出现的结果,则)1)((X—表示正面向上．也可以用反面向上正面向上,1,0)(Y描述这个随机试验的结果．例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往需要多个指标，例如，身高、体重、头围等．={儿童的发育情况}X()—身高Y()—体重Z()—头围各随机变量之间可能有一定的关系，也可能没有关系——即相互独立．而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高.我们可以把可能的身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于X的各种问题.如P(X1.7)=？P(X≤1.5)=?P(1.5X1.7)=?定义了一个x的实值函数，称为随机变量X的分布函数，记为F(x),即定义：设X为随机变量,对每个实数x,随机事件)(xX的概率)(xXPxxXPxF),()(注:分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性，或者说，分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况.2.1.2随机变量的分布函数分布函数的性质：F(x)单调不减，即)()(,2121xFxFxx1)(0xF且0)(lim,1)(limxFxFxxF(x)右连续，即)()(lim)0(0xFtFxFxt利用分布函数可以计算)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP)(1)(1)(aFaXPaXP（]ab]]（])0()()(aFaFaXP)0()(aFbF)()0(aFbF)0()0(aFbF)(bXaP)(bXaP)(bXaP请填空例2.1.1设随机变量的分布律为:求的分布函数，并求:X),21(XP)32(),2523(XPXPkp-123414121的分布函数为解X:即)(xFxxxx31322141214110)(xFxxxx313243214110x214143)23()25()2523(FFXP41)21()21(,FXP又)2()2()3()32(XPFFXP4321431设随机变量X的分布函数为:31313210200)(xxxxxxF求:).3141()5(),1()4(),1()3(),2()2(),3()1(XPXPXPXPXP课堂练习2.2-2.3随机变量的分布函数一、离散型随机变量的概念二、离散型随机变量的分布函数三、常见的离散型随机变量的概率分布随机变量的分类通常分为两类：随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.定义:若随机变量X的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称X为离散型随机变量.描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即,2,1,)(kpxXPkk概率分布的性质一、离散型随机变量的概念,2,1,0kpk非负性11kkp规范性F(x)是分段阶梯函数，在X的可能取值xk处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点.二、离散型随机变量的分布函数)()()(1kkkkxFxFxXPp))(()()(xxkkxXPxXPxFxxkxxkkkpxXP)(OOO)(xXP216131120x61211)(xF分布函数图概率函数图注意右连续注意:离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率.(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.例2.2.1从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律．kXP具体写出，即可得X的分布律：X5678910P25212525252152523525270252126解：X的可能取值为.1065，，，k5，6，7，8，9，10．并且510C41kC=——求分布率一定要说明k的取值范围！例2.2.2袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为止。记X为取到白球的数目,Y为抽取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。解:(1)X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=5/8,P(X=1)=(3×5)/(8×7)=15/56,类似有P(X=2)=(3×2×5)/(8×7×6)=5/56,P(X=3)=1/56,所以,X的概率分布为X0123P5/815/565/561/56(2)Y的可能取值为1,2,3,4,P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,类似有：P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布为：(3)P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56(1)0–1分布X=xk10Pkp1-p0p11,0,)1()(1kppkXPkk注:其分布律可写成三、常见的离散型随机变量的概率分布凡是随机试验只有两个可能的结果，应用场合常用0–1分布描述，如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.(2)离散型均匀分布X1x2xnxkpn1n1n1如在“掷骰子”的试验中，用表示事件｛出现点｝，则随机变量是均匀分布．}{iXiXX14kp6123566161616161(3)二项分布),(pnB背景：n重Bernoulli试验中，每次试验感兴趣的事件A在n次试验中发生的次数——X是一离散型随机变量若P(A)=p,则nkppCkXPkPknkknn,,1,0,)1()()(称X服从参数为n,p的二项分布(也叫Bernolli分布).记作),(~pnBX0–1分布是n=1的二项分布.二项分布的图形例3.1.1一大批产品的次品率为0.1，现从中取出15件．试求下列事件的概率：B={取出的15件产品中恰有2件次品}C={取出的15件产品中至少有2件次品},取出一件产品为次品A.1.0AP则由于从一大批产品中取15件产品，故可近似看作是一15重Bernoulli试验．解：所以，1322159.01.0CBPCPCP1141151500159.01.09.01.01CC例3.1.2一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此考试有5个选择题，每题有n重选择，其中只有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及格的概率.解:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个Bernoulli试验.)5,,1,0(,)1()(kppknkmPpknkk:,4,1此人及格的概率是时于是当其中nnp10.041554341454341355423543ppp)/1,5(~nBm这个随机变量他答对题数(4)Poisson分布)(或)(P或若,2,1,0,!)(kkekXPk其中0是常数，则称X服从参数为的Poisson分布，记作)()(P在一定时间间隔内：一匹布上的疵点个数；大卖场的顾客数；应用场合:电话总机接到的电话次数；一个容器中的细菌数；放射性物质发出的粒子数；一本书中每页印刷错误的个数；某一地区发生的交通事故的次数;市级医院急诊病人数；等等.例3.1.3设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已知21XPXP解：随机变量X的分布律为．试求4XP，，，210!kekkXPk由已知21XPXP如果随机变量X的分布律为.,2,1!kkckXPk为常数其中0试确定未知常数c.例3.1.4,1!!11kkkkkckc由分布率的性质有解：1!kkk而1e.11ec所以1!0kkk(5)几何分布设用机枪射击一次击落飞机的概率为,无限次地射击，则首次击落飞机时所需射击的次数服从参数为的几何分布，记.即pXp)(~pGX,)1()(1ppkXPk,2,1k容易验证，若在前m次射击中未击落飞机，那么,在此条件下，为了等到击落时刻所需要等待时间也服从同一几何分布，该分布与m无关，这就是所谓的无记忆性.课堂练习1.将一枚均匀骰子抛掷3次，令X表示3次中出现“4”点的次数求X的概率函数3,2,1,0,)65()61(}{33kCkXPkkk提示：２.设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.求X的概率分布.4,3,2,1,0,)1(}{44kppCkXPkkkX的概率函数是：男女解:X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为p.X=0X=1X=2X=3X=4X可取值0,1,2,3,4.2.4连续型随机变量及其概率密度2.4.1连续型随机变量及其概率密度函数2.4.２常见的连续型随机变量2.4.1连续型随机变量及其概率密度函数定义：设X是一随机变量，分布函数为F(x),若存在一个非负可积函数f(x)使得xttfxFxd)()(则称X是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数(p.d.f.)，简称为密度函数或概率密度．-10-550.020.040.060.08xf(x)xF(x)分布函数F(x)与密度