概率习题课一

概率论第一章习题课主要内容例题选讲概率论概率的公理化定义S,是它的是随机试验设E,AP,赋予一个实数的每一个事件对于样本空间AE:,A件如果它满足下列三个条的概率称之为事件;01AP非负性;12SP规范性,,,321有对于两两互斥事件AA2121APAPAAP可列可加性一、概率的定义概率论1性质0.P2性质,,,,21则两两互斥设有限个事件nAAA1212.nnPAAAPAPAPA3性质,有对于任何事件A.1APAP4性质,,则且为两事件、设BABABPAPBAP并且.BPAP二、概率的性质概率论5性质,都有对于任一事件A.1AP6性质,,则为任意两个事件设BAABPBPAPBAPCBAPABPCPBPAPABCPBCPACP概率论称这种试验为等可能随机试验或古典概型.若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同.AP中的基本事件总数包含的基本事件数SA三、古典概型古典概型中事件A的概率的计算公式:概率论设A、B是两个事件，且P(B)0,则称)()()|(BPABPBAP1.条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.四、条件概率概率论2)从加入条件后改变了的情况去算2.条件概率的计算1)用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0概率论若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)五、乘法公式若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)概率论,SE的样本空间为设试验nBBB,,,21,,则对且的一个划分为n,,,iBPSi210,恒有样本空间中的任一事件AniiiB|APBPAP1六、全概率公式概率论njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(｜｜ni,,,21七、贝叶斯公式,SE的样本空间为设试验12,,,nAAA为样本空间的一个划分,B为S中的任一事件,且P(B)0,则有概率论例1甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：概率论例2:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}解:设A表示“至少有一个男孩”,以H表示某个孩子是男孩,T表示某个孩子是女孩概率论例3（摸求问题）设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A表示“取到一红一白”一般地，设合中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是概率论例4（分球问题）将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解设A:每盒恰有一球,B:空一盒概率论一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：概率论例5（分组问题）30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解设A:每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组概率论一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第i组恰有ni个球(i=1,…m)，共有分法：概率论例6（随机取数问题）从1到200这200个自然数中任取一个；(1)求取到的数能被6整除的概率；(2)求取到的数能被8整除的概率；(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率.解:N(S)=200,N(3)=[200/24]=8N(1)=[200/6]=33,N(2)=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25概率论例7某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.解设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报概率论例8在110这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率，（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。解设A—取到的数能被2整除;Ｂ—取到的数能被3整除.概率论故概率论例9盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解设Ai为第i次取球时取到白球，则概率论例10市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。概率论)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP0225.02103.04101.04102.0)()()()(321BAPBAPBAPBP概率论例11商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品概率论已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:概率论例12在可靠性理论上的应用如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。概率论设A表示“L至R为通路”,Ai表示“第i个继电器通”,i=1,2,…5.概率论由全概率公式概率论•例：一盒子装有10个晶体管，其中有四个次品，其余为正品，现每次任意抽取一个进行测试，测试后不在放回，直到把全部次品找出为止，试求：•（1）需要测试5次的概率•（2）需要测试7次的概率概率论•例：某油漆公司发出17桶油漆，其中有白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在运输过程中所有的标签全部脱落，交货人随意将这些重新贴上，试求一位订购4桶白漆，3桶黑漆，和2桶红漆的用户，能按所预定的颜色如数得到订货的概率。