概率4-2方差

概率论第二节方差方差的定义方差的计算方差的性质切比雪夫不等式小结布置作业概率论上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.概率论例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？a乙仪器测量结果a甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近概率论又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心概率论由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差})({XEXE能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度.但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量})]({[2XEXE来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.概率论一、方差的定义设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2存在,称E[(X-E(X)]2为X的方差.记为D(X)或Var(X)，即具有相同的量纲。，它与记为的标准差或均方差称为方差的算术平方根XXXXD)()(D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2概率论若X的取值比较分散，则方差D(X)较大.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。概率论X为离散型，分布率P{X=xk}=pk由定义知，方差是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.,)()]([,)]([)(212dxxfXExpXExXDkkk二、方差的计算X为连续型，X概率密度f(x)概率论计算方差的一个简化公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2概率论例1设随机变量X具有(0—1）分布，其分布率为pXPpXP}1{,1}0{求D(X).解pppXE1)1(0)(pppXE2221)1(0)(由公式)1()]([)()(222ppppXEXEXD因此,0-1分布)1()(,)(ppXDpXE概率论例2。，求设)()(~XDX解X的分布率为0,,2,1,0,!}{kkekXPk上节已算得而,)(XE])1([)(2XXXEXE)()]1([XEXXE0!)1(kkkekk222)!2(kkke22ee概率论.,,泊松分布就被确定了只要知道分布率中只含一个参数。泊松分布的等于数学期望与方差相等，由此可知，泊松分布的22)]([)()(XEXEXD因此,泊松分布)(,)(XDXE概率论例3。，求设)(),(~XDbaUX解的概率密度为X其它01)(bxaabxf。方差为上节已求得2)(baXE1221)()()(22222abbadxabxXEXEXDba因此,均匀分布12)(,2)(2abXDbaXE概率论例4设随机变量X服从指数分布,其概率密度为0001)(xxexfx)()(0XDXE，，求其中概率论三、方差的性质1.设C是常数,则D(C)=0;2.若C是常数,则D(CX)=C2D(X);3.设X与Y是两个随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}概率论若X,Y相互独立,由数学期望的性质4得)()()(YDXDYXD此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况.概率论例6设X~B(n,p)，求E(X)和D(X).若设次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i=1,2，…，n则是n次试验中“成功”的次数niiXX1下面我们举例说明方差性质的应用.解X~B(n,p),“成功”次数.则X表示n重努里试验中的概率论于是i=1,2，…，n由于X1,X2,…,Xn相互独立niiXDXD1)()(=np(1-p)E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p),分布，所以是可知10iXnpXEXEnii1)()(则若),,(~pnBX)1()(,)(pnpXDnpXE概率论例7).()(),1,0(~XDXENX和求设解的概率密度为Xxexx2221)(于是021)()(22dxxedxxxXEx121)())(()(2222dxexdxxXExXDx则若),1,0(~NX1)(,0)(XDXE概率论），（，则若10~),(~2NXZNX1)(,0)(ZDZE质得由数学期望和方差的性而,ZX)()()()(EZEZEXE22)()()()(DZDZDXD，则若),(~2NX2)(,)(XDXE差所确定。可由它的数学期望和方布完全望和方差，因而正态分分别是该分布的数学期和概率密度中的两个参数这就是说，正态分布的2概率论例如,,),4,2(~),3,1(~相互独立和且若YXNYNX），（故有也服从正态分布，而则484~,48)(,4)(32NZXDZEYXZ且它们相互独立，则若,,2,1),,(~2niNXiii.)0,,(:212211仍然服从正态分布的常数是不全为它们的线性组合nnnCCCXCXCXC),(~12212211niiiniiinnCCNXCXCXC且概率论例8气缸的计以设活塞的直径),03.0,40.22(~)(2NXcm,.),04.0,50.22(~2任取一支活塞相互独立和直径YXNY.,率求活塞能装入气缸的概任取一只气缸解}.0{},{YXPYXP即求按题意需求由于)0025.0,10.0(~NYX故有9772.0)2()05.010.0(}0025.0)10.0(00025.0)10.0()({}0{}{YXPYXPYXP概率论四、切比雪夫不等式或由切比雪夫不等式可以看出，若越小，则事件{|X-E(X)|}的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.2221}|)({|XEXP22}|)({|XEXP，有不等式则对于任意正数方差具有数学期望设随机变量定理,)(,)(2XDXEX概率论证我们就连续型及离散型随机变量两种情况来证明.，则有的概率密度为设)(xfX222222)()(1)()(}{dxxfxdxxfxdxxfXPXX概率论•离散型随机变量0({()})({,()})iiiPXEXPXxxEX0({,()})iiiPXxxEX220()({,()})iiiixEXPXxxEX概率论220()()iiixEXPXx2201()()iiixEXPXx224.D(X)=0等价于P{X=C}=1,这里C=E(X)概率论当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.vX与它的期望的偏差不小于的概率的估计式.如取322}|)({|XEXP111.09}3|)({|22XEXP可见，对任给的分布，只要期望和方差存在，则r.vX取值偏离E(X)超过3的概率小于0.111.2概率论例9已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为P(5200X9400)P(5200X9400)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|2100}概率论2)2100()(1XD由切比雪夫不等式P{|X-E(X)|2100}2)2100700(198911即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.概率论例10在每次试验中，事件A发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?解：设X为n次试验中，事件A出现的次数，E(X)=0.75n,的最小的n.900760740.)..(nXP则X~B(n,0.75)所求为满足D(X)=0.75×0.25n=0.1875n概率论=P(-0.01nX-0.75n0.01n)2)01.0()(1nXD=P{|X-E(X)|0.01n}20001.01875.01nnn18751P(0.74nX0.76n))76.074.0(nXP)76.074.0(nXP可改写为在切比雪夫不等式中取n，则0.01=P{|X-E(X)|0.01n}概率论187509.011875n解得依题意，取9.018751n即n取18750时，可以使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90.概率论六、小结这一讲，我们介绍了随机变量的方差.它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征.下一讲，我们将介绍刻划两r.v间线性相关程度的一个重要的数字特征：协方差、相关系数概率论七、布置作业习题（四）9，10，15