二轮复习专题三角函数和解三角形导学案

1专题二三角函数和解三角形【知识网络构建】【重点知识整合】一、三角恒等变换与三角函数1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:(1)方程思想:sincos,sincos,sincos三者中,知一可求二;(2)“1”的替换:22sincos1;(3)切弦互化:弦的齐次式可化为切；(4)角的替换:2()(),()22;(5)公式变形:21cos2cos2,21cos2sin2,tantantan()(1tantan);(6)构造辅助角(以特殊角为主):22sincossin()(tan)bababa.2二、解三角形1．正弦定理已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为三角形外接圆的半径)．2．余弦定理已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc，另外两个同样．3．面积公式已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则(1)三角形的面积等于底乘以高的12；(2)S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R(其中R为该三角形外接圆的半径)；(3)若三角形内切圆的半径是r，则三角形的面积S＝12(a＋b＋c)r；(4)若p＝a＋b＋c2，则三角形的面积S＝pp－ap－bp－c.【高频考点突破】3【变式探究】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C.35D.45【方法技巧】1．用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单；2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式的应用条件.考点二三角函数的性质三角函数的单调区间：y＝sinx的递增区间是[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)，递减区间是[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)；y＝cosx的递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tanx的递增区间是(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)．例2、已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，3cosx)，函数f(x)＝a·b＋32.(1)求f(x)的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；(2)当0≤x≤π2时，求函数f(x)的值域．【变式探究】已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，且f(π2)f(π)，则f(x)的单调递增区间是()4A．[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)B．[kπ，kπ＋π2](k∈Z)C．[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)D．[kπ－π2，kπ](k∈Z)考点三函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及变换函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像：(1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图像变换：y＝sinx―――――――――→向左φ或向右φ平移|φ|个单位y＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)――――――――――→纵坐标变为原来的AA倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)．例3、已知函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的一段图像经过点(0,1)，如图所示．(1)求f1(x)的表达式；5(2)将函数f1(x)的图像向右平移π4个单位长度得到函数f2(x)的图像，求y＝f1(x)＋f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合．【变式探究】已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)，y＝f(x)的部分图像如图，则f(π24)＝()A．2＋3B.3C.33D．2－3考点四三角变换及求值三角函数求值有以下类型：(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；(2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；(3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角．例1、已知函数f(x)＝2sin(13x－π6)，x∈R.(1)求f(0)的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f(3α＋π2)＝1013，f(3β＋2π)＝65.求sin(α＋β)的值．【变式探究】已知：cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0βπ4απ2，则6α＋β的值为________．考点五正、余弦定理的应用【变式探究】△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．考点六解三角形与实际应用问题在实际生活中，测量底部不可到达的建筑物的高度、不可到达的两点的距离及航行中的方位角等问题，都可通过解三角形解决．例6、如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？7【难点探究】难点一简单的三角恒等变换例1、(1)若0απ2，－π2β0，cos（π4＋α）＝13，cos（π4－β2）＝33，则cos（α＋β2）＝()A.33B．－33C.539D．－69(2)已知sinα＝12＋cosα，且α∈0，π2，则cos2αsinα－π4的值为________．【点评】在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换，把求解的角用已知角表示出来，把求解的角的三角函数使用已知的三角函数表示出来，常见的角的变换有，把π2＋2α变换成2π4＋α，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝α－β2－α2－β等；在进行三角函数化简或者求值时，如果求解目标较为复杂，则首先要变换这个求解目标，使之简化，以便看出如何使用已知条件．难点二三角函数的图象例2(1)已知函数f(x)＝Atan(ωx+φ)ω＞0，|φ|＜π2，y＝f(x)的部分图象如图所示，则fπ24＝________.8(2)要得到函数y＝cos（2x＋π3）的图象，只需将函数y＝12sin2x＋32cos2x的图象()A．向左平移π8个单位B．向右平移π2个单位C．向右平移π3个单位D．向左平移π4个单位难点三三角函数的性质例3已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A.kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)B.kπ，kπ＋π2(k∈Z)C.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)D.kπ－π2，kπ(k∈Z)【规律方法】1．根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中各个字母的范围．2．进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身，9特别在平移变换中，如果这个变量的系数不是1，在进行变换时变量的系数也参与其中，如把函数y＝sin2x＋π4的图象向左平移π12个单位时，得到的是函数y＝sin2x＋π12＋π4＝sin2x＋5π12的图象．3．解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究．难点四正余弦定理的应用例4、(1)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，sinA＝13，则a＝________.(2)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A0，π6B.π6，πC.0，π3D.π3，π难点五函数的图象的分析判断例5、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，b＝2，求△ABC的面积S.【点评】本题的难点是变换cosA－2cosCcosB＝2c－ab时，变换方向的选取，即是把角的函数转化为边的关系，还是把边转化为角的三角函数，从已知式的结构上看，把其中三个内角的余弦转化为边的关系是较为复杂的，而根据正弦定理把其中边的关系转化为角的正弦，则是较为简单的，在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题．10探究点六解三角形的实际应用例6、如图6－1，渔政船甲、乙同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙)，此时B、D两处相距42km，问渔政船乙要航行多少千米才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救？【变式探究】如图6－2，某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船？并指出巡逻艇航行方向．图6－2【规律技巧】1．使用正弦定理能够解的三角形有两类，一类是已知两边及其中一边的对角，一类已知一边和两个内角(实际就是已知三个内角)，其中第一个类型也可以根据余弦定理列出方程求出第三边，再求内角．在使用正弦定理求三角形内角时，要注意解的可能情况，判断解的情况的基本依据是三角形中大边对大角．2．当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时，可以使用正弦定理、也可11以使用余弦定理，使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程，这个方程联系着三角形的三个边和其中的一个内角．3．正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系．【历届高考真题】【2012年高考试题】一、选择题1.【2012高考真题重庆理5】设tan,tan是方程2320xx的两个根，则tan()的值为（A）-3（B）-1（C）1（D）33.【2012高考真题新课标理9】已知0，函数()sin()4fxx在(,)2上单调递减.则的取值范围是（）()A15[,]24()B13[,]24()C1(0,]2()D(0,2]4.【2012高考真题四川理4】如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1AE，12连接EC、ED则sinCED（）A、31010B、1010C、510D、5157.【2012高考真题辽宁理7】已知sincos2，(0，π)，则tan=(A)1(B)22(C)22(D)18.【2012高考真题江西理4】若tan+1tan=4,则sin2=A．15B.14C.13D.129.【2012高考真题湖南理6】函数f（x）=sinx-cos(x+6)的值域为A．[-2,2]B.[-3,3]C.[-1,1]