5.6余弦三角函数的图像和性质

5.6三角函数的图像及性质5.6.2余弦函数的图像和性质一、表达式：1、形如：y=cosx的函数叫余弦函数.其中x是自变量.当x是角度制时可取一切角度，当x代表弧度制是可取一切实数，x∈R二、余弦函数的图像及画法：1、因为cos(α+2kπ)=cosα,所以y=cosx是周期函数，且周期是2π。2、只需要作出【0，2π】上的图像，然后根据周期性，扩展到一切实数R范围。3、作函数图像的步骤：在函数定义域内:（代数作图法）书P128①列表（算值）②描点（建立坐标系）③连线4、作余弦函数y=cosx在x∈【0,2π】上的图象xyy=cosx,x[0,2]o2322667236113653435-11①列表x02πy=cosx10.870.50-0.5-0.87-1-0.87-0.500.50.871②描点③连线如何在精确度要求不太高时作出余弦函数的图象？yxo1-122322五点法——观察发现：余弦函数y=cosx在[0，2π]的图像上有“五”个重要的点，它是就是确定图像基本形状的关键点。（0，1）（，0）2（π，-1）（，0）23（2π，1）例：用“五点法”作函数图像：1利用“五点法”作函数y=-cosx在【0,2π】上的图像OXyπ.解：①列表x0π2πcosx10-101y=-cosx-1010-1223②描点2232π.1-1请观察：y=cosx与y=-cosx图像的区别与联系？连线y=-cosx的图像y=cosx的图像y=cosxx[0,2]y=cosxxR利用y=cosx的周期为2将y=cosx图象向左或向右平移利用图象平移xy1-147235223222322523724y=1y=-1思考:观察余弦函数的图像，可得到哪些重要性质？---------cosyxsin()2x由2知余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移各单位长度而得到．x456y23021-12223想一想:余弦函数又有什么样的性质呢？四、余弦函数的性质y=cosx(xR)1、定义域：X∈R（或一切角）2、值域：y∈[-1,1]（有界性）即|cosx|≤1，或-1≤y≤1其中：①当x=(k∈z)时，y有最大值，ymax=1k2②当x=(k∈z)时，y有最小值，ymin=-1k23、周期性：y=cosx是周期为2π的周期函数4、奇偶性：是偶函数，y=cosx的图像关于y轴对称.或cos（－α）＝cosα，yxo--1234-2-31223252722325例题：(根据函数的性质解题）1、已知：2cosx=a-4，求a的取值范围。解：根据正弦函数y=cosx的有界性：所以|a-4|≤2即，-2≤a-4≤2解得2≤a≤6故a的取值范围a∈[2,6]2、求使函数y=cos2x取得最大值的的集合，并指出最大值是多少？解：根据正弦函数y=cosx的最大是1,设u=2x则y=cos2x化为y=cosu因为|cosx|≤1即当u=时(k∈z)，ymax=1k2即u=2x=k2解之x=(k∈z)k所以集合{x|x=,k∈z}k函数y=cos2x取得最大值是1,|2cosx|≤2四、余弦函数的性质y=cosx(xR)5、单调性：①在每一个区间【】（k∈R）上都是增函数kk2,2②在每一个区间【】（k∈R）上都是增减数kk2,2函数值y由-1（最小）增大到1（最大）函数值y由1（最大）减小到-1（最小）yxo--1234-2-31223252722325注意：)12(2kk)12(2kkyxo--1234-2-31223252722325三、余弦弦函数的性质1定义域:___________2值域：当x=_______时，y取到最大值_______当x=_______时，y取到最小值_______3奇偶性：图像关于_______对称，故为__________函数4周期：___________5单调性：单调增区间___________单调减区间___________6对称轴：___________的值为多少？时，对应、当xx21sin1的取值为多少？时，对应、当xx21sin2的取值为多少？时，对应、当xx21sin223xyo--1234-2-31223252722325练一练:的取值为多少？时，、当xx21cos1值为多少？时，对应的、当xx21cos2取值为多少？时，对应的、当xx21cos223练一练:yxo--1234-2-31223252722325例1利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小(1)sin()与sin()1810∵218102又y=sinx在上是增函数]2,2[∵sin()sin()1810(2)cos()与cos()523417解：解：从而cos()=cos=cos52352353417cos()=cos=cos4174∵5340又y=cosx在上是减函数],0[∵coscos453即：cos–cos0534cos()＜cos()523417RxxyRxxy，）（2sin323cos)1(例2求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合},6|{},63|)(631-,)(23)(61)(231,11minmaxzkkxxxzkkxxxzkkxzkkxzkkxzkkxyy集合为最大值的集合为的所以使函数取得最小值，此时函数取得最小值时当，此时时，函数取得最大值易知，当）解：（（2）令u=2x，使函数y=-3sinz，z∈Rz}k,k4x|{x,3z}k,k4-x|{x,3)(43-,)(22)(43)(22minmax的集合为此时的集合为此时，得函数取得最小值时当，得时，函数取得最大值当xyxyzkkxzkkuzkkxzkku例3求函数的单调递增区间。]2,2[),321sin(xxy解：令，函数的单调递增区间是321xzzysin]22,22[kk由得kxk2232122zkkxk,43435设},43435|{]2,2[zkkxkxBA所以]3,35[BA故此函数的单调递增区间是]3,35[例5的单调区间求函数)4sin(2xy上单调递增在上单调递减在则令)(223,22)(22,22-sin2,4zkkkzkkktyxt)4sin(2)4sin(2xxy解：时，函数为减函数即当)(24324-22422-zkkxkkxk时，函数为增函数即当)(247243223422zkkxkkxk)(243,24-)(247,243zkkkzkkk单调减区间为函数的单调增区间为达标检测cos1yxxR1、比较大小2、求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么？（1）（2）3、求函数的定义域4、sin2yxxR1sin2xy的单调区间求函数)4sin(2xy914sin85sin)2(85cos74cos1与与）（作业:练习册P128---140教科书P136--137