10-曲线积分与曲面积分习题课

第十章曲线积分和曲面积分习题课机动目录上页下页返回结束曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义∑∫=→λΔηξ=niiiiLsfdsyxf10),(lim),(∫+LdyyxQdxyxP),(),(]),(),([lim10iiiniiiiyQxPΔηξ+Δηξ=∑=→λ联系dsQPQdyPdxLL)coscos(βα∫∫+=+计算∫∫βαψ′+ϕ′ψϕ=dtfdsyxfL22],[),(与方向无关)(βα∫∫βαψ′ψϕ+ϕ′ψϕ=+dtQPQdyPdxL]),(),([与方向有关机动目录上页下页返回结束条件与路径无关的四个等价命题在单连通开区域D上),(),,(yxQyxP具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.∫+LQdyPdxD与路径无关内在)1(∫⊂=+CDCQdyPdx闭曲线,0)2(QdyPdxduyxuD+=使内存在在),()3(xQyPD∂∂=∂∂,)4(内在等价命题机动目录上页下页返回结束曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义∑∫∫=→ΣΔ=niiiiisfdszyxf10),,(lim),,(ζηξλxyiniiiiSRdxdyzyxR)(),,(lim),,(10Δ=∑∫∫=→Σζηξλ联系∫∫Σ++RdxdyQdzdxPdydz计算∫∫Σ++=dSRQP)coscoscos(γβα∫∫Σdszyxf),,(∫∫++=xyDyxdxdyzzyxzyxf221)],(,,[机动目录上页下页返回结束∫∫Σ++RdxdyQdzdxPdydz[]∫∫′−⋅±=xyDxzyxzyxP)(),(,,{[]dxdyyxzyxR}1),(,,⋅+[])(),(,,yzyxzyxQ′−+定积分曲线积分重积分曲面积分计算计算计算Green公式Stokes公式Guass公式各种积分之间的联系机动目录上页下页返回结束∑∫=→ΣΔ=niiMfdMf10)(lim)(σσλ.)()(,],[1∫∫Σ=→ΣbadxxfdMfbaRσ时上区间当.),()(,2∫∫∫Σ=→ΣDdyxfdMfDRσσ时上区域当积分概念的联系定积分二重积分机动目录上页下页返回结束∫∫∫∫ΣΩ=Ω→ΣdVzyxfdMfR),,()(,3σ时上区域当.),,()(,3∫∫ΣΓ=Γ→ΣdszyxfdMfRσ时上空间曲线当.),,()(,3∫∫∫Σ=→ΣSdSzyxfdMfSRσ时上曲面当曲面积分曲线积分三重积分.),()(,2∫∫Σ=→ΣLdsyxfdMfLRσ时上平面曲线当曲线积分机动目录上页下页返回结束计算上的联系)(,]),([),()()(21面元素σσddxdyyxfdyxfbaxyxyD∫∫∫∫=)(,),,(),,()()(),(),(2121体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz∫∫∫∫∫∫=Ω∫∫′+=baLdsdxyxyxfdsyxf)(,1)](,[),(2弧长元素机动目录上页下页返回结束dttttQtttPdyyxQdxyxPL)}()](),([)()](),([{),(),(ψψϕϕψϕβα′+′=+∫∫∫∫∫∫Σ′+′+=xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221)],(,,[),,()(面积元素dS机动目录上页下页返回结束∫∫Σ++RdxdyQdzdxPdydz[][]∫∫′−+′−⋅±=xyDyxzyxzyxQzyxzyxP)(),(,,)(),(,,{[]dxdyyxzyxR}1),(,,⋅+dxdyRQdzdxPdydz∫∫Σ++dsQPQdyPdxLL)coscos(βα∫∫+=+dSRQP)coscoscos(γβα∫∫Σ++=其中：理论上的联系1.定积分与不定积分的联系))()(()()()(xfxFaFbFdxxfba=′−=∫牛顿--莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系)()(的正向沿LQdyPdxdxdyyPxQLD∫∫∫+=∂∂−∂∂格林公式机动目录上页下页返回结束3.三重积分与曲面积分的联系∫∫∫∫∫ΣΩ++=∂∂+∂∂+∂∂RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂∫∫Σ∫Γ++=RdzQdyPdx斯托克斯公式机动目录上页下页返回结束∫∫∫⋅=⋅DLdxdykArotsdA)(rrrr∫∫∫=⋅DLdxdyAdivdsnArrr)(Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系∫∫∫ΣΓ⋅=⋅dSnArotdSA)(rr∫∫∫ΣΓ∂∂∂∂∂∂=++RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx∫∫∫∫∫ΩΣ=⋅dvAdivdsnArrr)(dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)(∂∂+∂∂+∂∂=++∫∫∫∫∫ΩΣ∫∫∫∂∂−∂∂=+DLdxdyyPxQQdyPdx)(∫∫∫∂∂+∂∂=+−DLdxdyyQxPPdyQdx)(或推广推广为平面向量场)(MAr为空间向量场)(MAr机动目录上页下页返回结束梯度kzujyuixugradurrr∂∂+∂∂+∂∂=通量旋度环流量zRyQxPAdiv∂∂+∂∂+∂∂=r∫∫Σ++=ΦRdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArotrrrr)()()(∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=∫Γ++=ΓRdzQdyPdx散度场论初步机动目录上页下页返回结束物理应用：质心，转动惯量，引力作业习题9-8(P330)1，3，5，7，9，11，13，17，19，20(2)，2124，27机动目录上页下页返回结束例1计算dsyxL∫+22，其中L为曲线：axyx=+22，0a。解1:二、典型例题机动目录上页下页返回结束⋅θxyoa如右图，L参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθsin2cos22ayaaxπθ20≤≤22)()(θθyx′+′22)cos2()sin2(θθaa+=2a=∫+Ldsyx22则∫=Ldsax∫⋅+=πθθ202)cos22(daaaa∫+=πθθ2022cos12da∫=πθθ202|2cos|2da∫=π02|cos|duua)2(θ=u令]coscos[2202∫∫−=πππuduudua22a=机动目录上页下页返回结束例1计算dsyxL∫+22，其中L为曲线：axyx=+22，0a。解2:机动目录上页下页返回结束如右图，L参数方程为⎩⎨⎧==θθθcossincos2ayax22πθπ≤≤−22)()(θθyx′+′22)2cos()sincos2(θθθaa+=a=⋅θxyoa∫+Ldsyx22∫=Ldsax∫−⋅⋅=222cosππθθadaa∫−=222cosππθθda22a=第二类曲线积分(平面曲线)的解题思路:∫+=LQdyPdxIxQyP∂∂≠∂∂xQyP∂∂=∂∂0∫=+=LQdyPdxI∫+=),(),(00yxyxQdyPdxI闭合非闭闭合∫∫∂∂−∂∂=DdxdyyPxQI)(非闭补充曲线或用公式机动目录上页下页返回结束解1xyo11A∫+++=∴LdyyxdxxyxI)()2(422机动目录上页下页返回结束10,2sin:≤≤=xxyLπQ∫+++=10422]2cos2)2sin()2sin2[(dxxxxxxxππππLL=.1523=例2计算∫+++=LdyyxdxxyxI)()2(422，其中L为由点)0,0(O到点)1,1(A的曲线xy2sinπ=.解2xxyxyyP2)2(2=+∂∂=∂∂知xyxxxQ2)(42=+∂∂=∂∂,xQyP∂∂=∂∂即∫∫++=104102)1(dyydxx故原式.1523=xyo11A∫+++=LdyyxdxxyxI)()2(422由机动目录上页下页返回结束例2计算∫+++=LdyyxdxxyxI)()2(422，其中L为由点)0,0(O到点)1,1(A的曲线xy2sinπ=.例3计算∫−+−=LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(，其中L为由点)0,(a到点)0,0(的上半圆周0,22≥=+yaxyx.解myemyyeyyPxx−=−∂∂=∂∂cos)sin(QyemyexxQxxcos)cos(=−∂∂=∂∂xQyP∂∂≠∂∂即机动目录上页下页返回结束xyo)0,(aAM∫∫∫∫−=−=+AMOAAOAOAOLI则0)(00⋅−+⋅=∫∫medxxaAO,0=添加辅助线xyo)0,(aAMdxdyyPxQDAMOA∫∫∫∂∂−∂∂=)(∫∫=Ddxdym,82amπ=0)(00⋅−+⋅=∫∫medxxaAO,0=082−π=am.82amπ=∫∫∫∫−=−=+AMOAAOAOAOLI∫∫−=∴AMOAAOI机动目录上页下页返回结束例4：计算dryxFL∫⋅),(，其中（1）xjyiyxF+−=),(，L是由0,1,===yxyx围成的三角形闭路，其方向为逆时针方向；（2）22),(yxxjyiyxF+−=，L：)0(,222=+aayx，其方向为逆时针方向。解xyoAB1dryxFL∫⋅),(∫+−=Lxdyydx∫∫∫++=BOABOA∫∫+−+=0110)(dxxxdy1=（1）直接用公式机动目录上页下页返回结束xyoAB1dryxFL∫⋅),(∫+−=Lxdyydx1=用格林公式∫∫−−=Ddxdy)]1(1[（2）直接用公式机动目录上页下页返回结束oaxydryxFL∫⋅),(∫+−+=Ldyyxxdxyxy2222θθθθθπdaaaaaa⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=∫coscos)sin(sin2202π2−=用格林公式dryxFL∫⋅),(∫+−+=Ldyyxxdxyxy2222此步不能用格林公式∫−=Lxdyydxa21此步可以用格林公式∫∫−+−=Ddxdya)]1(1[12π2−=机动目录上页下页返回结束oaxy例5：计算∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=CxdxxxyxeI8cos)sin(2222πππdyyexyyeyx⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++cosln)cos(222sin2π其中L是沿x正向增加的方向的曲线：⎩⎨⎧≤≤−≤≤−−−=21)1(10)1(1122xxxxy显然，直接计算很繁，用格林公式机动目录上页下页返回结束xyo)0,1(D机动目录上页下页返回结束解1：xyo)0,1(DABC添加辅助线∫∫+=ACBADBCAI用格林公式1=∂∂−∂∂yPxQ又∫∫∫++=202]8cossin2[2dxxxxedxdyIxDπππ∫∫+−−+=2022128cos)1(14dxxxdxxππ∫=20228cos21dxxπ2022138sin821)1(3114xxπππ⋅⋅+−−+=ππ4432++=0=机动目录上页下页返回结束解2：xyo)0,1(DABC于是,1=∂∂−∂∂yPxQQ432π+=xQQ−=1设,01=∂∂−∂∂yPxQ则与路径无关,11∫+=LdyQPdxI∫∫++=LLxdydyQPdxI121II+=0)8cos0(202++=∫dxxxππ4=∫+=ACBdyQPdxI11∫=LxdyI2∫∫−=LLydxxyd)(与路径无关∫∫−−−−−−=212102)1,2()1,0()1(])1(11[)(dxxdxxxyππ4432++=∴I例6：计算drFL∫⋅，其中{}yxxzzyF−−−=,,，L为圆周：⎩⎨⎧==++βtan2222xyazyx，20πβ，从正向看为逆时针方向。解1直接计算βoxyzx′y′aaa将分成L两部分,,01Ly记时2,0Ly记时≤的参数方程为1L⎪⎩⎪⎨⎧===ϕβϕβϕcossinsincossinazayax0:→πϕ机动目录上页下页返回结束的参数方程为2L⎪⎩⎪⎨⎧=−=+=−=+=ϕβϕβπϕβϕβπϕcossinsin)sin(sincossin)cos(sinazaayaaxπϕ→0:则drFIL∫⋅=11∫−+−+−=1)()()(Ldzyxdyxzdxzy)sin(cos2ββπ−=a同理drFIL∫⋅=22)sin(cos2ββ