统计学习题答案参数估计

第5章参数估计●1.从一个标准差为5的总体中抽出一个容量为40的样本，样本均值为25。（1）样本均值的抽样标准差xσ等于多少？（2）在95%的置信水平下，允许误差是多少？解：已知总体标准差σ=5，样本容量n=40，为大样本，样本均值x=25，（1）样本均值的抽样标准差xσ=nσ=405=0.7906（2）已知置信水平1－α=95%，得α/2Z=1.96，于是，允许误差是E=nα/2σZ=1.96×0.7906=1.5496。●2.某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。（3）假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差；（4）在95%的置信水平下，求允许误差；（5）如果样本均值为120元，求总体均值95%的置信区间。解：（1）已假定总体标准差为σ=15元，则样本均值的抽样标准误差为xσ=nσ=4915=2.1429（2）已知置信水平1－α=95%，得α/2Z=1.96，于是，允许误差是E=nα/2σZ=1.96×2.1429=4.2000。（3）已知样本均值为x=120元，置信水平1－α=95%，得α/2Z=1.96，这时总体均值的置信区间为nα/2σxZ=120±4.2=124.2115.8可知，如果样本均值为120元，总体均值95%的置信区间为（115.8，124.2）元。●3.某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）：3.33.16.25.82.34.15.44.53.24.42.05.42.66.41.83.55.72.32.11.91.25.14.34.23.60.81.54.71.41.22.93.52.40.53.62.5求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。解：⑴计算样本均值x：将上表数据复制到Excel表中，并整理成一列，点击最后数据下面空格，选择自动求平均值，回车，得到x=3.316667，⑵计算样本方差s：删除Excel表中的平均值，点击自动求值→其它函数→STDEV→选定计算数据列→确定→确定，得到s=1.6093也可以利用Excel进行列表计算：选定整理成一列的第一行数据的邻列的单元格，输入“＝(a7-3.316667)^2”，回车，即得到各数据的离差平方，在最下行求总和，得到：2i（x-x）=90.65再对总和除以n-1=35后，求平方根，即为样本方差的值s=1n2i（x-x）=90.6535=1.6093。⑶计算样本均值的抽样标准误差：已知样本容量n=36，为大样本，得样本均值的抽样标准误差为xσ=ns=361.6093=0.2682⑷分别按三个置信水平计算总体均值的置信区间：①置信水平为90%时：由双侧正态分布的置信水平1－α=90%，通过2β－1=0.9换算为单侧正态分布的置信水平β=0.95，查单侧正态分布表得α/2Z=1.64，计算得此时总体均值的置信区间为nα/2sxZ=3.3167±1.64×0.2682=3.75652.8769可知，当置信水平为90%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.87，3.76）小时；②置信水平为95%时：由双侧正态分布的置信水平1－α=95%，得α/2Z=1.96，计算得此时总体均值的置信区间为nα/2sxZ=3.3167±1.96×0.2682=3.84232.7910可知，当置信水平为95%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.79，3.84）小时；③置信水平为99%时：若双侧正态分布的置信水平1－α=99%，通过2β－1=0.99换算为单侧正态分布的置信水平β=0.995，查单侧正态分布表得α/2Z=2.58，计算得此时总体均值的置信区间为nα/2sxZ=3.3167±2.58×0.2682=4.00872.6247可知，当置信水平为99%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.62，4.01）小时。4.从一个正态总体中随机抽取容量为8的样本，各样本值分别为：10,8,12,15,6,13,5,11。求总体均值95%的置信区间。解：（7.1,12.9）。5.某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离（公里）分别是：103148691211751015916132求职工上班从家里到单位平均距离95%的置信区间。解：（7.18,11.57）。●6.在一项家电市场调查中，随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比率的置信区间，置信水平分别为90%和95%。解：已知样本容量n=200，为大样本，拥有该品牌电视机的家庭比率p=23%，拥有该品牌电视机的家庭比率的抽样标准误差为pσ=(1)ppn=0.230.77200=2.98%⑴双侧置信水平为90%时，通过2β－1=0.90换算为单侧正态分布的置信水平β=0.95，查单侧正态分布表得α/2Z=1.64，此时的置信区间为(1)pppnα/2Z=23%±1.64×2.98%=27.89%18.11%可知，当置信水平为90%时，拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为（18.11%，27.89%）。⑵双侧置信水平为95%时，得α/2Z=1.96，此时的置信区间为(1)pppnα/2Z=23%±1.96×2.98%=28.8408%17.1592%可知，当置信水平为95%时，拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为；（17.16%，28.84%）。●7.某居民小区共有居民500户，小区管理者准备采取一项新的供水设施，想了解居民是否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了50户，其中有32户赞成，18户反对。（1）求总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间，置信水平为95%；（2）如果小区管理者预计赞成的比率能达到80%，应抽取多少户进行调查？解：已知总体单位数N=500，重复抽样，样本容量n=50，为大样本，样本中，赞成的人数为n1=32，得到赞成的比率为p=n1n=3250=64%（1）赞成比率的抽样标准误差为(1)ppn=0.640.3650=6.788%由双侧正态分布的置信水平1－α=95%，得α/2Z=1.96，计算得此时总体户数中赞成该项改革的户数比率的置信区间为(1)pppnα/2Z=64%±1.96×6.788%=77.304%50.696%可知，置信水平为95%时，总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间为（50.70%,77.30%）。（2）如预计赞成的比率能达到80%，即p=80%，由(1)ppn=6.788%，即0.80.2n=6.788%得样本容量为n=20.80.2(6.788%)=34.72取整为35，即可得，如果小区管理者预计赞成的比率能达到80%，应抽取35户进行调查。8.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：来自总体1的样本来自总体2的样本141n72n2.531x4.432x8.9621s0.10222s（1）求2190%的置信区间；（2）求2195%的置信区间。解：（1.86,17.74）；（0.19,19.41）。9.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：来自总体1的样本来自总体2的样本251x232x1621s2022s（1）设10021nn，求2195%的置信区间；（2）设1021nn，2221，求2195%的置信区间；（3）设1021nn，2221，求2195%的置信区间；（4）设20,1021nn，2221，求2195%的置信区间；（5）设20,1021nn，2221，求2195%的置信区间。解：（1）2±1.176；（2）2±3.986；（3）2±3.986；（4）2±3.587；（5）2±3.364。10.下表是由4对观察值组成的随机样本：配对号来自总体A的样本来自总体B的样本1202573106485（1）计算A与B各对观察值之差，再利用得出的差值计算d和ds；（2）设1和2分别为总体A和总体B的均值，构造)(21d95%的置信区间。解：（1）75.1d，63.2ds；（2）1.75±4.27。11.从两个总体中各抽取一个25021nn的独立随机样本，来自总体1的样本比率为%401p，来自总体2的样本比率为%302p。（1）构造2190%的置信区间；（2）构造2195%的置信区间。解：（1）10%±6.98%；（2）10%±8.32%。12.生产工序的方差是共需质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对共需进行改进以减小方差。下面是两部机器生产的袋茶重量（克）的数据：机器1机器23.453.223.903.223.283.353.202.983.703.383.193.303.223.753.283.303.203.053.503.383.353.303.293.332.953.453.203.343.353.273.163.483.123.283.163.283.203.183.253.303.343.25构造两个总体方差比222195%的置信区间。解：（4.06,14.35）。●13.根据以往的生产数据，某种产品的废品率为2%。如果要求95%的置信区间，若要求允许误差不超过4%，应抽取多大的样本？解：已知总体比率=2%=0.02，由置信水平1-α=95%，得置信度α/2Z=1.96，允许误差E≤4%即由允许误差公式E=/2Znpασ整理得到样本容量n的计算公式：n=2()Eα/2PZσ=2()Eα/2Zπ(1-π)=2E2α/2Zπ(1-π)≥20.020.980.0421.96=47.0596由于计算结果大于47，故为保证使“≥”成立，至少应取48个单位的样本。●14.某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为120元，现要求以95%的置信水平估计每个购物金额的置信区间，并要求允许误差不超过20元，应抽取多少个顾客作为样本？解：已知总体标准差x=120，由置信水平1-α=95%，得置信度α/2Z=1.96，允许误差E≤20即由允许误差公式E=/2Znxασ整理得到样本容量n的计算公式：n=2()Eα/2xZσ≥2()201.96120=138.2976由于计算结果大于47，故为保证使“≥”成立，至少应取139个顾客作为样本。15.假定两个总体的标准差分别为：121，152，若要求误差范围不超过5，相应的置信水平为95%，假定21nn，估计两个总体均值之差21时所需的样本容量为多大？解：57。16.假定21nn，允许误差05.0E，相应的置信水平为95%，估计两个总体比率之差21时所需的样本容量为多大？解：769。