九年级数学第4讲.第二轮复习之函数图象上点的存在性问题中的距离、面积与角度.尖子班.学生版

31`中考说明：从07到13年我们发现各区模拟和中考中有很多考题通过距离来限制动点的位置．比如寻找等腰三角形的顶点等等．一、线段定值问题：初中知识涉及点到点的距离，点到线的距离，平行线的距离，距离问题可分为以下几类：①动点P到定点O的距离等于定长d，其实就是作圆（如图1）．②动点P到定直线l的距离等于定长d，其实就是作平行线（如图2）．③动点P到两定平行直线的距离倍差，其实是作平行线（图略）．④动点到两相交直线的距离相等，其实就是作角平分线．（如图3）⑤动点到三角形三边的距离相等，其实就是三角形的内切圆圆心和旁切圆圆心（如图4）．PdO图1图2P2P1ldd图3角平分线角平分线角平分线角平分线图4I3I2I1I二、线段最值问题：题型一：已知ABa，ACb，其中ab，求BC的最值．如图，以点A为圆心，线段AB为半径作圆，A⊙交直线AC于点1B、2B，当点B与点1B重合时，BC取到最大值为ab；当点B和点2B重合时，BC取到最小值为ba．点评：首尾相连线段求最值，其实就是旋转共线，不重则大，重叠则小．题型二：4第二轮复习之函数图像上点的存在性问题中的距离、面积与角度题型一：存在问题中的距离B1B2CBAA'BPAl32在直线l上找一点P，使得其到直线同侧两点AB、的距离之和最小，如图所示．作点A（或B）关于直线l的对称点，再连接另一点与对称点，与l的交点即为P点．题型三：直线12ll、交于O，P是两直线间的一点，在直线12ll、上分别找一点AB、，使得PAB△的周长最短．如图所示，作P点关于12ll、的对称点12PP、，连接12PP，与12ll、分别交于AB、两点，即为所求．题型四：直线12ll、交于O，AB、是两直线间的两点，从点A出发，先到1l上一点P，再从P点到2l上一点Q，再回到B点，求作PQ、两点，使APPQQB最小．如图所示，作AB、两点分别关于直线12ll、的对称点AB′′、，连接AB′′分别交12ll、于PQ、，即为所求．点评：同侧定点问题通过轴对称转化成异侧定点，才能和直线相交．题型五：从A点出发，先到直线l上的一点P，再在l上移动一段固定的距离PQ，再到点B，求作P点使移动的距离最短，如图所示．先将A点向右平移到A′点，使AA′等于PQ的长，作点B关于l的对称点B′，连接AB′′，与直线l的交点即为Q点，将Q点向左平移线段PQ的长，即得到P点．题型六：AB、是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d的河上垂直建一座桥，使得从A村庄经过桥到B村庄所走的路程最短．如图所示，将点A向垂直于河岸的方向向下平移距离d，到A′点，连接AB′交河岸于Q点，过Q点作PQ垂直于河岸，交河岸的另一端为P，即为所求．点评：若有定长，则按着定长的方向平移掉定长．题型七：垂线段最短．AB≥AM+BNNBMA斜边大于直角边CBA垂线段最短Ol1l2QPB'A'BAOBAP2P1Pl2l1dA'BQPAB'A'QPBAl33【例1】在平面直角坐标系xOy中，抛物线223ymxmxn经过(35)P，，(02)A，两点．⑴求此抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；⑶在⑵的条件下，求到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标．典题精练34【例2】已知抛物线21yaxbx经过点13A，和点21B，．⑴求此抛物线解析式；⑵点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；⑶过点B作x轴的垂线，垂足为E点．点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点，再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的2倍，试确定点F的位置，使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短．（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明）yx331221O1FGyxEHD1OCBA35中考说明：经过分析统计近三年北京模拟题和外地中考题，发现二次函数综合题中涉及面积的题目所占比例极大，其原因大致有两点：一是面积可以通过底和高来限制线段，二是特殊图形面积计算也是中考的考查点．【例3】抛物线223yxx与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．典题精练题型二：存在问题中的面积ExOyCBA36【例4】如图，已知抛物线212yxbxc（b，c是常数，且0c）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(10)，．⑴b＝，点B的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；⑵连接BC，过点A作直线AEBC∥，与抛物线212yxbxc交于点E．点D是x轴上一点，其坐标为20，，当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；⑶在⑵的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．①求S的取值范围；②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有个．ODCBAyx371.【存在问题中的角度---特殊角】中考说明：单个特殊角一般指30、45、60等，初中阶段主要考察如何利用特殊角度去构造特殊三角形，从而解决相关问题；初高中衔接知识是特殊直线tanyxm与抛物线20yaxbxca的交点.【例5】如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线2yx上一动点，点A的坐标为42，，若点P使45AOP∠，请求出点P的坐标．典题精练构造特殊三角形特殊角度45°30°题型三：存在问题中的角度AxOy382．【存在问题中的角度---构造角度相等或角度和】【例6】在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yxbxc与x轴交于AB，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为(30)，，将直线ykx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过BC，两点．⑴求直线BC及抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且APDACB，求点P的坐标；⑶连接CD，求OCA与OCD两角和的度数．1137–23–2–4xy55O39题型一存在问题中的距离巩固练习【练习1】在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yxbxc经过20A，、40B，两点，直线122yx交y轴于点C，且过点(8)Dm，．⑴求抛物线的解析式；⑵在x轴上找一点P，使CPDP的值最小，求出点P的坐标；⑶将抛物线2yxbxc左右平移，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，当四边形ABDC的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形ABDC周长的最小值．题型二存在问题中的面积巩固练习【练习2】如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点33A，，把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点6Bm，，与x轴、y轴分别交于C、D两点.复习巩固40⑴求m的值；⑵求过A、B、D三点的抛物线的解析式；⑶若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使凸四边形OECD的面积1S是四边形OACD面积S的23?若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．33DCBAyxO41题型三存在问题中的角度巩固练习【练习3】如图，点P是直线l：22yx上的点，过点P的另一条直线m交抛物线2yx于A、B两点．⑴若直线m的解析式为1322yx，求A，B两点的坐标；⑵①若点P的坐标为2t，．当PAAB时，请直接写出点A的坐标；②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PAAB成立．⑶设直线l交y轴于点C，若AOB△的外心在边AB上，且BPCOCP，求点P的坐标．mlyxOBAPOxylCPABOxylm42铁杵成针相传唐代大诗人李白在小的时候很贪玩，不爱读书，也不求上进。有一天，他正在屋子里读书，书刚读到一半，心烦意乱，又打呵欠，又伸懒腰。他觉得读书没有意思，作诗又太难，而且坐得腰酸腿疼的。看看屋里没人，他就悄悄地溜出门去，跑到山下的小河边捉蜻蜓。走啊，走啊，他终于来到了小河边，忽然他发现小河边上蹲着一个老婆婆，手里拿着一根铁棒，在一块大石头上使劲地磨呀磨呀，她干得十分卖力，汗珠不断从她那花白的鬓角流下来。李白站在那里看了好久，挺纳闷，始终猜不出来老婆婆磨铁棒是要干什么。于是走上前问：“老婆婆，请问你磨这根铁棒干什么？”老婆婆擦了一把汗，回答道：“我要把它磨成绣花针。”“真的吗？”李白很吃惊，“这么大一根铁棒，怎能磨成针呢？”老婆婆看到他惊异的样子，笑呵呵地说：“孩子，铁棒总是越磨越细，只要我下定决心，天天磨，月月磨，还怕磨不成针吗？干什么事情都要有恒心啊！”李白听了，若有所悟，对自己逃学的行为感到十分惭愧，连忙转身跑回家，翻开书本，一遍又一遍地读起书来。从此，他再也不贪玩，不怕苦，而是发愤学习了。后来．李白经过自己的不懈努力，终于成为中国历史上一个伟大的诗人。今天我学到了第十八种品格：坚持4344