【拿高分,选好题】高中新课程数学(人教)二轮复习专题第一部分 专题复习讲义《1-1-4 导数及其应用

回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四第4课时导数及其应用回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四高频考点考情解读导数的几何意义考查求过某点的切线的斜率、方程、切点的坐标，或以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值．利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题．利用导数研究函数的极值与最值导数是研究函数极值与最值问题的重要工具，常与函数、方程、不等式等交汇命题.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四1．求导数的方法(1)基本导数公式：C′＝0(C为常数)；(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna；(lnx)′＝1x；(logax)′＝1xlogae.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四(2)导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；uv′＝u′v－uv′v2(v≠0)．(3)复合函数的导数：[f(ax＋b)]′＝af′(ax＋b)，如y＝sin2x有y′＝2cos2x.2．导数的几何意义(1)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点P(x0，y0)处的切线斜率．(2)曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)(f(x)在P点处的导数存在)．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四(3)曲线的切线与曲线的公共点的个数可能不是唯一的，公共点的个数可随曲线及曲线上切点的位置的改变而不同．3．函数的性质与导数(1)在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减；(2)求极值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根；回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四③判定根两侧导数的符号；④下结论．(3)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根(注意取舍)；③求出各极值及区间端点处的函数值；④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值).回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四(2012·新课标全国卷)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析：∵y＝x(3lnx＋1)，∴y′＝3lnx＋1＋x·3x＝3lnx＋4，∴k＝y′|x＝1＝4，∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.答案：y＝4x－3回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0的导数f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率；(2)已知或求得切点坐标P(x0,f(x0))，由点斜式得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．注意：①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x＝x0；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四1．(2012·豫南四校调研)已知曲线y1＝2－1x与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0的值为()A．－2B．2C.12D．1回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四答案：D解析：由题知y′1＝1x2，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为1x20，3x20－2x0＋2，所以3x20－2x0＋2x20＝3，所以x0＝1.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四(2012·朝阳区统一考试)已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋(x≥0，a为正实数)．(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)＋1－x1＋x，则f′(x)＝1x＋1＋－21＋x2.所以f′(1)＝0.又f(1)＝ln2，因此所求的切线方程为y＝ln2.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四(2)f′(x)＝aax＋1＋－21＋x2＝ax2＋a－2ax＋11＋x2.①当a－2≥0，即a≥2时，因为x≥0，所以f′(x)≥0，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．②当a－2＜0，即0＜a＜2时，令f′(x)＝0，则ax2＋a－2＝0(x≥0)，所以x＝2－aa.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四因此，当x∈0，2－aa时，f′(x)＜0，当x∈2－aa，＋∞时，f′(x)＞0.所以函数f(x)的单调递增区间为2－aa，＋∞，函数f(x)的单调递减区间为0，2－aa.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四利用导数研究函数单调性的步骤：第一步：确定函数f(x)的定义域；第二步：求f′(x)；第三步：解方程f′(x)＝0在定义域内的所有实数根；第四步：将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间；第五步：确定f′(x)在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四[提醒](1)当一个函数的递增或递减区间有多个时，不能盲目地将它们取并集．(2)当f(x)不含参数时，也可以通过解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)直接得到单调递增(或递减)区间．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四2．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′23.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝[f(x)－x3]·ex，若函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.当x＝23时，得a＝f′23＝3×232＋2a×23－1，解之，得a＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.则f′(x)＝3x2－2x－1＝3x＋13(x－1)，列表如下：回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四x－∞，－13－13－13，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗有极大值↘有极小值↗回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四所以f(x)的单调递增区间是－∞，－13和(1，＋∞)；f(x)的单调递减区间是－13，1.(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex，回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四因为函数g(x)在区间x∈[－3,2]上单调递增，所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四(2012·北京卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四解析：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝14a2时，h(x)＝x3＋ax2＋14a2x＋1，h′(x)＝3x2＋2ax＋14a2.令h′(x)＝0，得x1＝－a2，x2＝－a6.a＞0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下：回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四x－∞，－a2－a2－a2，－a6－a6－a6，＋∞h′(x)＋0－0＋h(x)↗↘↗回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四所以函数h(x)的单调递增区间为－∞，－a2和－a6，＋∞；单调递减区间为－a2，－a6.当－a2≥－1，即0＜a≤2时，函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－14a2.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四当－a2＜－1，且－a6≥－1，即2＜a≤6时，函数h(x)在区间－∞，－a2上单调递增，在区间－a2，－1上单调递减，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h－a2＝1.当－a6＜－1，即a＞6时，回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四函数h(x)在区间－∞，－a2上单调递增，在区间－a2，－a6上单调递减，在区间－a6，－1上单调递增，又因为h－a2－h(－1)＝1－a＋14a2＝14(a－2)2＞0，所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h－a2＝1.回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四(1)利用导数研究函数的极值的一般步骤①确定定义域．②求导数f′(x)．③a.若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检验f′(x)在方程根右值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)回扣主干知识聚焦高频考点品味经典考题演练课时作业工具栏目导引二轮新课标文科数学第一部分专题四b．若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况，从而求解．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较