第4章-水文统计的基本知识

第一节水文现象第二节概率的基本概念第三节随机变量及其概率分布第四节水文常用频率曲线第五节统计参数估算第六节适线法估计水文分布参数第四章水文统计的基本知识第一节水文现象水文现象是自然现象的一种，在其发生和演变过程中，包含着必然性的一面，也包着偶然性的一面。必然现象是在一定条件下，必然出现或不出现的现象。偶然现象是在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象，也称随机现象。随机现象所遵循的规律称为统计规律，研究统计规律的学科称为概率论，而由随机现象的一部分试验资料去研究全体现象的数量特征和规律的学科称为数理统计学。一些水文现象具有一定的随机性，用数理统计方法来分析研究这些现象称为水文统计学。第二节概率的基本概念一、事件事件是指随机试验的结果。必然事件：如果可以断定某一事件在试验中必然发生，称此事件必然事件。不可能事件：可以断定试验中不会发生的事件称为不可能事件。随机事件：某种事件在试验结果中可以发生也可以不发生，这样的事件就称为随机事件。随机事件A在试验结果中可能出现也可能不出现，但其出现可能性的大小的数量标准就是概率。nmP(A)古典概率表达式二、概率水文事件不属古典概型事件，只能通过试验来估算概率。设事件A在ｎ次试验中出现了ｍ次，则称为事件A的频率。nmW(A)三、频率试验者掷币次数出现正面次数频率蒲丰４０４０２０４００.５０８０皮尔逊１２０００６０１８０.５０１６皮尔逊２４０００１２０１４０.５００６掷币试验出现正面的频率表在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概率是十分接近的。１．概率加法定理Ｐ（Ａ＋Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）式中，Ｐ（Ａ＋Ｂ）－事件Ａ与Ｂ之和的概率；Ｐ（Ａ）－事件Ａ的概率；Ｐ（Ｂ）－事件Ｂ的概率。Ｐ（ＡＢ）－事件Ａ和Ｂ共同发生的概率。四．概率加法定理和乘法定理Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ／Ａ）＝Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ／Ｂ）对于n个两两独立事件：Ｐ（Ａ1Ａ2···Ａn）＝Ｐ（Ａ1）Ｐ（Ａ2）···Ｐ（Ａn）对于相互独立事件：Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）2、概率乘法定理AAAABBBB互斥相容对立独立P（AB）＝0P（A＋B）＝P（A）＋P（B）P（A）＋P（B）＝1P（A）＝1－P（B）P（B）＝1－P（A）P（AB）＝P（A）P（B）P（A/B）＝P（A）P（B/A）＝P（B）P（AB）＝P（A）P（B/A）＝P（B）P（A/B）五事件关系分析某堤防设计标准为抵御100年一遇洪水。问：（1）堤防所能抵御洪水的重现期（2）堤防防洪设计标准值T=100年P（A）=0.01（5）今年不发生超标准洪水的概率（3）每年发生超标准洪水的概率（4）去年已经发生超标准洪水，今年发生超标准洪水的概率P（A）=0.01P（A）=0.01P（B）=1-P（A）=0.99（6）今后10年内不发生超标准洪水的概率（7）今后10年内发生超标准洪水的概率（8）今后10年内堤防受破坏的概率P（C）=P（B1B2···B10）=P（B1）P（B2）···P（B10）=0.9910=0.904P（D）=1-P（C）=0.096P（D）=0.096【例】某城市位于河流甲与乙的汇合点。当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛的概率为0.1，河流乙泛滥的概率为0.2；又知当河流甲泛滥时，河流乙泛滥的概率为0.3。求在该时期内这个地区被淹没的概率；当河流乙泛滥时河流甲泛滥的概率。某城市甲河乙河Ｐ（A＋B）＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）－Ｐ（AB）＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）－Ｐ（B／A）Ｐ（A）＝0.1＋0.2-0.3×0.1＝0.27解：记河流的甲泛滥为事件Ａ，河流乙泛滥为事件Ｂ。这个地区被淹没的概率为：Ｐ（A／B）＝Ｐ（B／A）Ｐ（A）/Ｐ（B）＝0.3×0.1/0.2＝0.15由于Ｐ（A／B）Ｐ（B）＝Ｐ（B／A）Ｐ（A），故当河流乙泛滥时，河流甲泛滥的概率为一、水文随机变量随机变量是表示随机试验结果的数量表示。水文随机变量一般指水文特征值，如水位、流量、雨量等，属连续型随机变量。第三节随机变量及其概率分布二、随机变量的概率分布随机变量的取值x与其概率P的对应关系，称为随机变量的概率分布。水文统计学研究随机变量的取值大于某一个值的概率F（x）＝P（X＞x）称此为随机变量的概率分布函数或概率分布曲线。0.20.40.60.81.011001000900800700P（X＞x）x某雨量站的年雨量分布曲线（1）年雨量超过900mm的概率P（X＞900）=0.2（2）年雨量小于800mm的概率P（X＞800）=0.52P（X≤800）=1－0.52=0.48（3）P（X＞x）=0.1的设计值xx=995mm（4）P（X≤x）=0.1的设计值xP（X＞x）=1-0.1=0.9x=720mm函数f（x）＝-F’（x）为概率密度函数，简称为密度函数或密度曲线。f（x）xdxf（x）dx概率密度函数f（x）xxpF（xp）＝P（X＞xp）密度函数xdxxfxXPxF)()()(xf（x）F（x）xF（xP）＝P（XxP）xPF（xP）概率分布函数与密度函数关系概率分布曲线完整地刻划了随机变量的统计规律。但在一些实际问题中，有时只要知道概率分布某些特征数值。这种以简便的形式显示出随机变量分布规律的某些特征数字称为随机变量的分布参数。三、随机变量的分布参数均值niiipxx12)(xXE离势系数（离差系数，变差系数）xCv/标准差（均方差）偏态系数（偏差系数）33/)(xXECsσ1σ2σ2＞σ1标准差对频率曲线的影响Cs＞0Cs＝0Cs＜0Cs对密度曲线的影响第四节水文常用的概率分布曲线222)(21)(xxexf一、正态分布x式中，—平均数σ—标准差f（x）68.3%正态分布曲线xxx皮尔逊Ⅲ型曲线为一端有限一端无限的不对称单峰曲线，概率密度函数式中，参数α，β，a0，且有：)(10)()()(oaxaaeaxxf)21(;2;402svsvsCCxaCCxC二、皮尔逊Ⅲ型分布f（x）x)(10)()()(oaxaaeaxxf皮尔逊Ⅲ型曲线皮尔逊Ⅲ型分布的积分无解析解，实用中制表查用。xaxaoadxeaxxXPxFo)(1)()()()(已知x、CV、CS，由f(x)推求F（x）被积函数只含一个参数CS。只要给定CS就可以算出ФP和p的对应值，最终制定出ФP～Cs～p的对应数值表。pdCfPxXPspp),()()(xCvxxpp)1(vppCxx取标准化变量Ф（离均系数）0.1151020508090959903.092.331.641.280.840.00-0.84-1.28-1.64-2.330.53.812.681.771.320.81-0.08-0.85-1.22-1.49-1.961.04.533.021.881.340.76-0.16-0.85-1.13-1.32-1.591.55.233.331.951.330.69-0.24-0.82-1.02-1.13-1.26P(%)Cs【例】已知某地年平均雨量EX＝1000mm、CV＝0.5、CS＝1.0，求p＝1%的设计年雨量。x1%＝（ФPCv＋1）x＝（3.02×0.5＋1）1000＝2510（mm）由CS＝1.0，p＝1%查得ФP＝3.02第五节统计参数估计一、样本与总体随机变量所取数值的全体称为总体，从总体中任意抽取的一部分称为样本，样本中所包括的项数称为样本容量。水文变量的总体是指自古迄今以至未来的水文系列，现有的水文观测的系列可以当作总体的一个样本。样本均值样本标准差样本离势系数样本偏态系数niixnx11niixxns12')(1xsCv'niiSsxxnC13'3'/)(1二、矩法估计p18531321)3()()(111snxxCxsCvxxnsxnxniisinii水文上采用经修正后的矩法公式:三、抽样误差用一个样本的统计参数来估计总体的统计参数是存在误差的，称之为抽样误差。这种误差是由于从总体中随机抽取的样本与总体有差异而引起的。样本抽样误差的均方值称为均方误，是衡量抽样误差的大小的常用指标。皮尔逊Ⅲ型分布参数矩法估计的均方误公式：42222165231(62432124312SSCsSVSvvCvsXCCnCCCcnCcnn样本参数的均方误（相对误差，%）由表中可见，当n＝100时，CS的误差在40～126%之间。水文资料一般都很短（n＜100），按矩法公式算得的CS值，抽样误差太大。EXCVCS参数nCv1005025101005025101005025100．1112375014221261782523900．334610710152351721021620．557101281116254158821300．7710142291217274056801261．01014202310142032426085134x12001000800020406080100W（%）某地年降雨量经验分布曲线W（X≥xi）＝i/n第六节适线法估计水文分布参数一、经验频率曲线如果用W（X≥xi）＝i/n的经验分布曲线估计总体分布曲线，存在不合理现象。当m＝n时，最末项的频率为100%，样本末项值为总体中的最小值，不符合事实。1)(nmxXPm水文上用期望值公式估计频率二、经验频率频率比较抽象，为便于理解，常采用重现期。所谓重现期是指在许多试验中，某一事件重复出现的时间间隔的平均数。在工程水文中，重现期用字母T表示，一般以年为单位。在江河水利工程水文计算中，重现期是频率的倒数。当研究暴雨洪水问题时,P（X＞x）是暴雨洪水事件发生的频率，其重现期)(1xXPT例如，当暴雨或洪水频率为1%时，重现期T＝100年，称此暴雨为百年一遇的暴雨或洪水。例如，对于P（X＞x）＝80％枯水流量，重现期T＝5年，称此为五年一遇的枯水流量,或称为保证率为80％的流量。)(11)(1xXPxXPT当研究枯水问题时P（X≤x）是枯水频率，而P（X＞x）称为保证率,其重现期所谓百年一遇的暴雨或洪水，是指大于或等于这样的暴雨或洪水在长时期内平均100年发生一次，而不能认为每隔100年必然遇上一次。适线法的原理：根据经验频率点据，找出配合最佳之频率曲线，相应的分布参数为总体分布参数的估计值。三、适线法（1）点绘经验点据纵坐标为变量值，横坐标为经验频率，采用期望值公式估计。（2）初定一组参数用矩法公式的估算EX和CV，并假定CS与CV的比值K估算CS。（3）根据初定的EX、CV和CS，计算频率曲线，并绘在点有经验点据的图上。若与经验点据配合不理想，则修改参数再次配线，主要调整CV以及CS。（4）选择一条与经验点据配合最佳曲线作为采用曲线。该曲线的参数看作总体参数的估计值。计算步骤：由频率曲线图可见，CV值愈大，曲线愈陡；当CS增大时，曲线上段变陡而下段趋于平缓。配线法采用了概率格纸，以正态分布曲线成直线来划分概率坐标的。其特点是横坐标的两端分格较稀而中间较密，纵坐标为均匀分格或对数分格。这样，曲线两端的坡度变缓，使用起来比较方便。【例】某站共有实测降水量资料24年，求频率为10%和90%的年降水量。1、将原始资按大小次序排列，列入表（4）栏。计算步骤为：2、计算经验频率Pm=m/(n+1)列入表（5）栏,并与xm对应点绘于概率格纸上。年份x（mm）mXmm/(n+1)%(1)(2)(3)(4)(5)565758.5919606162636465666768691970717273747576777879538.3624.9663.2519.7557.2998.0641.5341.1964.2687.3546.7509.9769.2615.5417.1789.3732.01064.5606.7586.7567.4587.7709.0883.51234