2015高考总复习数学(文)课件：3.4幂函数

第4讲幂函数考纲要求考情风向标1.了解幂函数的概念．了解它们的变化情况.从近两年的高考试题来看，幂函数一般不单独命题，而常与指数函数、对数函数交汇命题，命题一般为选择题、填空题中的一部分内预计2015年高考对幂函数的考查仍将与指数函数、对数函数知识交汇命题，重点考查函数的图象及性质.容，主要考查幂函数的图象及性质．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝12x的图象，1．幂函数的定义一般地，形如________(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．y＝xα2．幂函数的图象象，如图3-4-1.五个常用幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝12x，y＝x－1的图图3-4-13．幂函数y＝xα的图象，在第一象限内直线x＝1的右侧，图象由下至上，指数α____________；y轴和直线x＝1之间，图象由上至下，指数α____________.由小到大由小到大幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x-1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减(0，＋∞)增增增(－∞，0)减(0，＋∞)减定点(0,0)，(1,1)(1,1)的性质4．五个常用幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－112x)C1．所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是(A．(0,0)B．(0,1)C．(1,1)D．(－1，－1)2．下列说法正确的是()AA．y＝x4是幂函数，也是偶函数B．y＝－x3是幂函数，也是减函数C．y＝x是增函数，也是偶函数D．y＝x0不是偶函数B3．(2011年陕西)函数y＝13x的图象是()解析：∵已知幂函数y＝xα的图象过点(4,2)，B4．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则f13＝()A.3B.33C.13D.19则4α＝2，∴α＝12，故函数的解析式为y＝f(x)＝12x.∴f13＝1213＝33.5．如图3-4-2，曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，____________________.图3-4-2c4，c2，c3，c1已知α分别取－1,1，12，2四个值，则相应图象依次为：考点1幂函数的概念上是增函数，判断函数f(x)的奇偶性．例1：已知m∈N*，函数f(x)＝(2m－m2)·2232mmx＋－在(0，＋∞)解：由函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，得2m2＋3m－20，2m－m20或2m2＋3m－20，2m－m20，即m12或m－2，0m2或－2m12，m2或m0，∴12m2或－2m0.∵m∈N*，∴m＝1.此时f(x)＝x3，x∈R.∵f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数．【方法与技巧】(1)幂函数y＝xα的特点：①系数必须为1；②指数必须为常数.(2)幂函数的单调性：①α0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数；②α0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.【互动探究】是(1)幂函数？(2)正比例函数？(3)反比例函数？(4)二次函数？1．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·21mmx＋－，当m为何值时，f(x)解：(1)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±2.(2)若f(x)为正比例函数，则m2＋m－1＝1，m2＋2m≠0⇒m＝1.(3)若f(x)为反比例函数，则m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0⇒m＝－1.(4)若f(x)为二次函数，则m2＋m－1＝2，m2＋2m≠0⇒m＝－1±132.考点2幂函数的图象A．0个C．2个D．3个B．1个答案：B【方法与技巧】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图象问题，该题涉及幂函数和指数函数的图象.例2：(2012年北京)函数f(x)＝12x－12x的零点个数为()解析：函数f(x)＝12x－12x的零点，即令f(x)＝0，根据此题可得12x＝12x，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个．故选B.【互动探究】2．(2013年四川乐山一模)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()A．①y＝13x；②y＝x2；③y＝12x；④y＝x－1B．①y＝x3；②y＝x2；③y＝12x；④y＝x－1C．①y＝x2；②y＝x3；③y＝12x；④y＝x－1D．①y＝13x；②y＝12x；③y＝x2；④y＝x－1解析：y＝x2为偶函数，对应②；y＝12x定义域x≥0，对应③；y＝x－1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y＝x3与y＝13x均为奇函数，但y＝x3比y＝13x增长率大，故①对应y＝x3.答案：B考点3比较大小例3：若x0是方程12x＝13x的解，则x0属于区间()A.23，1B.12，23C.13，12D.0，13答案：C解析：设f(x)＝12x－13x，f(0)＝10，f13＝1312－1313，由于幂函数y＝13x单调递增，得f13＝1312－13130；f12＝1212－1312，由于指数函数y＝12x单调递减，得f12＝1212－13120.故选C.【方法与技巧】本题表面是考查零点存在性定理，其实质相同而底数不同(即底数为变量)，此时利用幂函数的单调性来比较大小；如果底数相同而指数不同(即指数为变量)，此时利用指数函数的单调性来比较大小；如果两个幂指数、底数全不同，此时需要引入中间变量，常用的中间变量有0，1或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂.注意：指数函数a1时单调递增，0a1时单调递减；而幂函数α0时在第一象限单调递增，α0时在第一象限单调递减.是比较1312，1313，1212的大小.比较两个幂的大小，如果指数【互动探究】3．设a＝0.64.2，b＝0.74.2，c＝0.65.1，则a，b，c大小关系正确的是()A．abcC．bcaB．bacD．cba解析：因为y＝ax，a∈(0,1)时函数是减函数，4.25.1，所以ac；因为y＝xa，a＝4.21，函数是增函数，因为0.70.6，所以ba.所以bac.故选B.B思想与方法⊙转化与化归思想在幂函数中的应用Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．(1)求函数f(x)的解析式；例题：(2011年皖北大联考)已知幂函数f(x)＝223mmx－＋＋(m∈(2)设函数g(x)＝14f(x)＋ax3＋92x2－b(x∈R)，其中a，b∈R.若函数g(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围．解：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m2＋2m＋30，即m2－2m－30.∴－1m3.又m∈Z，∴m＝0,1,2.而当m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数．当m＝1时，f(x)＝x4是偶函数，∴f(x)＝x4.(2)g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根．为使g(x)仅在x＝0处有极值，必须x2＋3ax＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式，得a∈[－2,2]．这时，g(0)＝－b是唯一极值．∴a∈[－2,2]．【方法与技巧】(1)幂函数在区间(0，＋∞)上是单调增函数，得幂指数－m2＋2m＋30，幂函数为偶函数，得幂指数－m2＋2m＋3为偶数.(2)若函数g(x)仅在x＝0处有极值，抓住关键字“仅”，意味着函数没有其他极值点，g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，则x2＋3ax＋9≥0恒成立，这样就将导数、极值问题转化成一个二次不等式恒成立的常规问题.