2015-2016学年 高中数学 人教A版必修二 第三章 3.2.2直线的两点式方程

3.2.23.2.2直线的两点式方程[学习要求]1．掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．[学法指导]通过应用过两点的斜率公式，探究出直线的两点式方程，经历通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的过程，感知事物之间的普遍联系与相互转化，形成用联系的观点看问题的习惯．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2填一填·知识要点、记下疑难点1．直线的两点式方程：经过直线上两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式．2．直线的截距式方程：我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的．y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1截距式方程xa＋yb＝1本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2填一填·知识要点、记下疑难点3．线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则线段P1P2的中点坐标公式为.x＝x2＋x12y＝y2＋y12本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2[问题情境]已知直线上一点的坐标和直线的斜率我们能用直线的点斜式表示直线的方程；已知直线的斜率及直线在y轴上的截距能用直线的斜截式表示直线的方程，那么，如果已知直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，是否存在直线的某种形式的方程直接表示出直线的方程呢？研一研·问题探究、课堂更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2探究点一直线的两点式方程导引已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出过这两点的直线方程？问题1经过一点，且已知斜率的直线，如何求它的方程？答利用直线的点斜式方程，将数据代入就能求出直线的方程．问题2能不能把上述问题转化成已经解决的问题？怎样转化？答由于x1≠x2，所求直线的斜率k＝y2－y1x2－x1.取P1(x1，y1)和k，由点斜式方程，得y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)，由y1≠y2，方程两边同除以y2－y1，得y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1.研一研·问题探究、课堂更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2小结经过直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1叫做直线的两点式方程，简称两点式．研一研·问题探究、课堂更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2问题3从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适合求什么样的直线方程？研一研·问题探究、课堂更高效答两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效例1已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求l的方程．解将两点A(a,0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得y－0b－0＝x－a0－a，即xa＋yb＝1.小结我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程xa＋yb＝1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的截距式方程．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1三角形的顶点是A(－4,0)，B(3，－3)，C(0,3)，求这个三角形三边所在的直线的方程．解∵直线AB过A(－4,0)，B(3，－3)两点，由两点式得y－0－3－0＝x－－43－－4，整理得3x＋7y＋12＝0，∴直线AB的方程为3x＋7y＋12＝0.∵直线AC过A(－4,0)和C(0,3)两点，由两点式得y－03－0＝x－－40－－4，整理得3x－4y＋12＝0.∴直线AC的方程为3x－4y＋12＝0.∵直线BC过B(3，－3)和C(0,3)两点，由两点式得y－－33－－3＝x－30－3.整理，得2x＋y－3＝0，∴直线BC的方程为2x＋y－3＝0.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点二直线两点式、截距式方程的应用问题如图所示，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)是线段AB的中点，如何用A，B点的坐标表示M点的坐标？解∵直线经过点P(－2,3)，且斜率为2，代入点斜式，得：y－3＝2(x＋2)，即2x－y＋7＝0.答过点A，B，M分别向x轴，y轴作垂线AA1，AA2，BB1，BB2，MM1，MM2，垂足分别为A1(x1,0)，A2(0，y1)，B1(x2,0)，B2(0，y2)，M1(x,0)，M2(0，y)．因为M是线段AB的中点，所以点M1和点M2分别是A1B1和A2B2的中点，即A1M1＝M1B1，A2M2＝M2B2.所以x－x1＝x2－x，y－y1＝y2－y.即x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效小结已知P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝x2＋x12，y＝y2＋y12，这个公式为线段的中点坐标公式．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效例2已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．解如图，过B(3，－3)，C(0,2)的两点式方程为y－2－3－2＝x－03－0，整理得5x＋3y－6＝0.这就是BC边所在直线的方程．BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为(3＋02，－3＋22)，即(32，－12)．过A(－5,0)，M(32，－12)的直线的方程为y－0－12－0＝x＋532＋5，即12x＋132y＋52＝0，即x＋13y＋5＝0.这就是BC边上中线所在直线的方程．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2小结当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．研一研·问题探究、课堂更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上的高AD所在直线的方程；(3)BC边上的中线AE所在直线的方程．解(1)直线BC的方程为y－13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0.(2)由(1)知kBC＝－12，则kAD＝2，又AD过A(－3,0)，故直线AD的方程为y＝2(x＋3)，即2x－y＋6＝0.(3)BC边中点为E(0,2)，故AE所在直线方程为x－3＋y2＝1，即2x－3y＋6＝0.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效例3求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．解设直线的两截距都是a，则有①当a＝0时，直线为y＝kx，将P(2,3)代入得k＝32，∴l：3x－2y＝0；②当a≠0时，直线设为xa＋ya＝1，即x＋y＝a，把P(2,3)代入得a＝5，∴l：x＋y＝5.∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.小结(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3求过点(4，－3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．解设直线l在x轴和y轴上的截距分别为a，b，则直线过两点A(a,0)和B(0，b)．(1)当a≠0且b≠0时，由截距式求得直线l的方程为xa＋yb＝1.∵直线l过点(4，－3)，∴4a－3b＝1①又|a|＝|b|②由①②联立，得方程组4a－3b＝1|a|＝|b|，由此解得a＝1b＝1或a＝7b＝－7，故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2研一研·问题探究、课堂更高效(2)当a＝b＝0时，直线l过原点O(0,0)和点(4，－3)，由两点式得直线l的方程为3x＋4y＝0.综上可知，直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.21．在x、y轴上的截距分别是－3、4的直线方程是()A.x－3＋y4＝1B.x3＋y－4＝1C.x－3－y4＝1D.x4＋y－3＝1练一练·当堂检测、目标达成落实处A本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处2．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________________________________．解析①若直线过原点，则k＝－43，∴y＝－43x，即4x＋3y＝0.②若直线不过原点，设xa＋ya＝1，即x＋y＝a.4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处3．直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线l的方程．解由题意，得直线l在两坐标轴上截距都大于零，故可设直线方程为xa＋yb＝1(a0，b0)，由已知得：12ab＝2|a－b|＝3，解得a＝1b＝4或a＝4b＝1或a＝－1b＝－4(舍)或a＝－4b＝－1(舍)，∴直线方程为x4＋y＝1或x＋y4＝1.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．点斜式与斜截式要注意斜率不存在的情况．两点式要考虑直线平行于x轴和垂直于x轴的情况．截距式要注意两个截距都不为0的条件限制，另外截距相等也包括截距均为零的情况，不能用截距式方程表示，而应用y＝kx表示．2．方程y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)(x1≠x2)与y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)以及(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)代表的直线范围不同.本课时栏目开关填一填研一研练一练