2018版高考数学一轮复习幂函数与二次函数课件理新人教A版

第4讲幂函数与二次函数最新考纲1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝1x的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如_______的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象y＝xα(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域RRR_________{x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)__________________奇偶性奇偶奇非奇非偶奇[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}12yx2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝_______________.顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________.零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质ax2＋bx＋c(a≠0)(m，n)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域______________________________________单调性在上单调递减；在_____________上单调递增在_______________上单调递增；在上单调递减对称性4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a－∞，－b2a－b2a，＋∞－∞，－b2a函数的图象关于x＝－b2a对称－b2a，＋∞诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)函数y＝2x13是幂函数.()(2)当n0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b24a.()解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x13不是幂函数，(1)错.(3)由于当b＝0时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)错.(4)对称轴x＝－b2a，当－b2a小于a或大于b时，最值不是4ac－b24a，故(4)错.答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝243，b＝323，c＝2513，则()A.bacB.abcC.bcaD.cab解析因为a＝243＝423，b＝323，c＝523又y＝x23在(0，＋∞)上是增函数，所以cab.答案A3.已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是()A.5B.－5C.6D.－6解析由f(1)＝f(2)＝0知方程x2＋px＋q＝0的两根分别为1，2，则p＝－3，q＝2，∴f(x)＝x2－3x＋2，∴f(－1)＝6.答案C4.若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________.解析由m2－3m＋3＝1，m2－m－2≤0，解得m＝1或2.经检验m＝1或2都适合.答案1或25.若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是________.解析二次函数f(x)图象的对称轴是x＝1－a，由题意知1－a≥3，∴a≤－2.答案(－∞，－2]考点一幂函数的图象和性质【例1】(1)(2017·济南诊断测试)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α等于()A.12B.1C.32D.2(2)若(2m＋1)12(m2＋m－1)12，则实数m的取值范围是()A.－∞，－5－12B.5－12，＋∞C.(－1，2)D.5－12，2解析(1)由幂函数的定义知k＝1.又f12＝22，所以12α＝22，解得α＝12，从而k＋α＝32.(2)因为函数y＝x12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于2m＋1≥0，m2＋m－1≥0，2m＋1m2＋m－1.解得m≥－12，m≤－5－12或m≥5－12，－1＜m＜2，即5－12≤m2.答案(1)C(2)D规律方法(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)α的正负：当α0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【训练1】(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A.－3B.1C.2D.1或2解析(1)设f(x)＝xα(α∈R)，则4α＝2，∴α＝12，因此f(x)＝x12，根据图象的特征，C正确.(2)∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上是减函数，∴n2＋2n－2＝1，n2－3n0，∴n＝1，又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.答案(1)C(2)B考点二二次函数的图象与性质【例2】(2017·兰州调研)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数；(3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间.解(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]，∴f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).(3)当a＝－1时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3＝x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2，x≤0，x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，x0，其图象如图所示，又∵x∈[－4，6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0，1)上为减函数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数.规律方法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍.【训练2】(1)设abc0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()(2)(2017·武汉模拟)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.解析(1)由A，C，D知，f(0)＝c0，从而由abc0，所以ab0，所以对称轴x＝－b2a0，知A，C错误，D满足要求；由B知f(0)＝c0，所以ab0，所以x＝－b2a0，B错误.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.答案(1)D(2)－2x2＋4考点三二次函数的应用(多维探究)命题角度一二次函数的恒成立问题【例3－1】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.解(1)由题意知－b2a＝－1，f（－1）＝a－b＋1＝0，解得a＝1，b＝2.所以f(x)＝x2＋2x＋1，由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，x2＋2x＋1x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即kx2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，由g(x)＝x＋122＋34知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k1，故k的取值范围是(－∞，1).命题角度二二次函数的零点问题【例3－2】(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则1mxii＝()A.0B.mC.2mD.4m解析由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象也关于直线x＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x＝1对称.不妨设x1x2…xm，则x1＋xm2＝1，即x1＋xm＝2，同理有x2＋xm－1＝2，x3＋xm－2＝2，…，又∑mi＝1xi＝xm＋xm－1＋…＋xi，所以2∑mi＝1xi＝(x1＋xm)＋(x2＋xm－1)＋…＋(xm＋x1)＝2m，所以∑mi＝1xi＝m.答案B规律方法(1)对于函数y＝ax2＋bx＋c，若是二次函数，就隐含着a≠0，当题目未说明是二次函数时，就要分a＝0和a≠0两种情况讨论.(2)由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.(3)涉及二次函数的零点常与判别式有关，常借助函数的图象的直观性实施数形转化.【训练3】(1)(2016·九江模拟)已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对x∈[－3，1]，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围为________.(2)(2017·枣庄一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，如果函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，则m的取值范围是________.解析(1)因为f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，对称轴x＝－(a－2)，对x∈[－3，1]，f(x)＞0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3，1]的位置关系得：－（a－2）＜－3，f（－3）＞0，或－3≤－（a－2）≤1，Δ＜0，或－（a－2）＞1，f（1）＞0，解得a∈∅或1≤a＜4或－12＜a＜1，所以a的取值范围为－12，4.(2)函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点可化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝m恰有4个交点，作函数y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，故m的取值范围是(－1，0).答案(1)－12，4(2)(－1，0)[思想方法]1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.2.求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值.应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.[易错防范]1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内