平面向量专题精讲

平面向量专题精讲第1讲平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.第2讲平面向量基本定理及坐标表示知识梳理1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.第3讲平面向量的数量积及其应用知识梳理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)夹角：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).第1讲平面向量的概念及线性运算基础巩固题组一、选择题1.已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→，其中结果为零向量的个数为()A.1B.2C.3D.42.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同C.|－λa|≥|a|D.|－λa|≥|λ|·a3.如图，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()A.0B.BE→C.AD→D.CF→4.设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A.0B.1C.2D.35.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于()A.OM→B.2OM→C.3OM→D.4OM→6.在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→等于()A.23b＋13cB.53c－23bC.23b－13cD.13b＋23c7.(2017·温州八校检测)设a，b不共线，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A.－2B.－1C.1D.28.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()A.a－12bB.12a－bC.a＋12bD.12a＋b二、填空题9.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA→相等的向量有________个.10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB→＋AD→＝λAO→，则λ＝________.11.向量e1，e2不共线，AB→＝3(e1＋e2)，CB→＝e2－e1，CD→＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________.能力提升题组13.(2017·延安模拟)设e1与e2是两个不共线向量，AB→＝3e1＋2e2，CB→＝ke1＋e2，CD→＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为()A.－94B.－49C.－38D.不存在14.已知点O,A,B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP→＝2OA→＋BA→，则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上16.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状为________.第2讲平面向量基本定理及坐标表示基础巩固题组一、选择题1.(必修4P118A组2(6))下列各组向量中，可以作为基底的是()A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D.e1＝(2，－3)，e2＝12，－342.(2016·沈阳质监)已知在▱ABCD中，AD→＝(2，8)，AB→＝(－3，4)，则AC→＝()A.(－1，－12)B.(－1，12)C.(1，－12)D.(1，12)3.已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.如右图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为()A.e1＋e2B.－2e1＋e2C.2e1－e2D.2e1＋e25.已知向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4，5)，OC→＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A.－23B.43C.12D.136.在△ABC中，点D在BC边上，且CD→＝2DB→，CD→＝rAB→＋sAC→，则r＋s等于()A.23B.43C.－3D.07.在△ABC中，点P在BC上，且BP→＝2PC→，点Q是AC的中点，若PA→＝(4，3)，PQ→＝(1，5)，则BC→等于()A.(－2，7)B.(－6，21)C.(2，－7)D.(6，－21)8.已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC→＝2AE→，则向量EM→＝()A.12AC→＋13AB→B.12AC→＋16AB→C.16AC→＋12AB→D.16AC→＋32AB→二、填空题9.(2017·广州综测)已知向量a＝(x，1)，b＝(2，y)，若a＋b＝(1，－1)，则x＋y＝________.10.若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a＋1b的值为________.11.已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________.12.在平行四边形ABCD中，AB→＝e1，AC→＝e2，NC→＝14AC→，BM→＝12MC→，则MN→＝________(用e1，e2)表示.能力提升题组13.(2017·长沙调研)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP→＝xOA→＋yOB→，且BP→＝2PA→，则()A.x＝23，y＝13B.x＝13，y＝23C.x＝14，y＝34D.x＝34，y＝1414.已知|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，点C在∠AOB内，且OC→与OA→的夹角为30°，设OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则mn的值为()A.2B.52C.3D.415.已知点A(－1，2)，B(2，8)，AC→＝13AB→，DA→＝－13BA→，则CD→的坐标为________.第3讲平面向量的数量积及其应用基础巩固题组一、选择题1.(2016·兰州诊断考试)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝()A.0B.1C.2D.52.(2015·陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.(a＋b)2＝|a＋b|2D.(a＋b)·(a－b)＝a2－b23.已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，则|b|＝()A.25B.5C.10D.54.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB→＝(1，－2)，AD→＝(2，1)，则AD→·AC→等于()A.5B.4C.3D.25.(2015·重庆卷)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A.π3B.π2C.2π3D.5π6二、填空题6.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________.7.(2016·北京卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为________.8.已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________.三、解答题9.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积.10.(2017·德州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－35.(1)求sinA的值；(2)若a＝42，b＝5，求角B的大小及向量BA→在BC→方向上的投影.能力提升题组11.(必修4P1201(6)改编)若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|等于()A.2B.5C.2或5D.2或512.(2015·山东卷)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→·CD→等于()A.－32a2B.－34a2C.34a2D.32a213.(2016·洛阳统考)已知A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|(O为坐标原点)，则锐角θ＝_______