高一寒假尖端班.第4讲.数列综合

12016寒假.高一数学标准课.尖端班班.第4讲数列综合.学生版第4讲数列综合内容层次要求数列数列的概念与表示B理解数列的概念，掌握数列的表示．等差数列与等比数列的概念B理解等差数列的概念．理解等比数列的概念．等差与等比数列的通项与前n项和公式C掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．掌握等差数列的一些性质．数列求和C掌握非等差、等比数列的几种求法求数列的通项C掌握非等差、等比数列通项的几种求法．一、数列求通项的常用方法1.数列的通项：数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，…，第n项．数列的一般形式可以写成：123naaaa，，，，，或简记为na，其中na是数列的第n项，又称为数列的通项．2.数列的通项公式：如果数列na的第n项与序号n之间的关系可以用一个函数式()nafn来表示，则称这个公式为这个数列的通项公式．3.数列的递推公式：如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项na与它的前一22016寒假.高一数学标准课.尖端班班.第4讲数列综合.学生版项1na间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式．例如，1112(2)nnaaan，≥．给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式也是给出数列的一种方法，即递推法．4.数列求通项的常用方法：1．用观察法（不完全归纳法）求数列的通项．2．运用公式法求等差（等比）数列的通项公式．3．已知数列}{na前n项和nS，则11,1,2nnnSnaSSn（注意：不能忘记讨论1n）4．已知数列}{na前n项之积nT，一般可求-1nT，则1nnnTaT－（注意：不能忘记讨论1n）．5．递推公式为1nnaafn，只要121fffn是可求的，就可以用累加法求na．6．递推公式是1nnafna（*nN）数列fn前n项积可求，可用累乘法求na．7．已知数列}{na的递推关系，研究na与1na的关系式的特点，可以通过变形构造新数列{()}nfa可求通项公式．二、数列求和的常用方法①求和公式直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及整数的平方和、立方和公式.其相关公式有：（1）等差数列的前N项和：()(1)1122naannnSnadn（2）等比数列的前N项和：11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq（3）2221121216nnnn（4）23333112314nnn【备注】①公比含字母时一定要讨论；32016寒假.高一数学标准课.尖端班班.第4讲数列综合.学生版②无穷递缩等比数列时，qaS11；②倒序相加等差数列前N项和公式的推导：设1231nnnSaaaaa，倒序得：1321nnnSaaaaa相加得：1211212()()()nnnnnSaaaaaaaa（），由等差数列的性质，得12()nnSnaa，1()2nnnaaS③错位相减法：针对数列nnab或nnab的数列求和应用此法，其中na是等差数列，nb是等比数列.④裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项.常见拆项：（1）111)1(1nnnn，1111212122121nnnn；（2）1111122112nnnnnnn；（3）1=1-1nnnn，11ababab；111nnknkn；（4）若na是公差为d的等差数列，则111111nnnnaadaa；（5）!)!1(!nnnn)!1(1!1)!1(nnnn⑤分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.42016寒假.高一数学标准课.尖端班班.第4讲数列综合.学生版运用分组求和求等差数列的前N项和：1231=+++++nnnSaaaaa11111=++d)+(2)++3)(1)aaadadand（（=1123(1)nand1(1)2nnnad数列求通项【例1】已知数列na的前n项和nnS23，求na【例2】已知数列na的前n项和为,nS1(1)3nnSa（n为正整数）(1)求1a，2a；(2)求数列na的通项公式．52016寒假.高一数学标准课.尖端班班.第4讲数列综合.学生版【例3】已知数列}{na；①若满足291a，)2(121nnaann，求na①若满足11,a1,(2)1nnannan，求na【例4】已知）（，nnnaanaa111,则数列na的通项公式na()A.12nB.11nnn）（C.2nD.n【例5】已知数列{}na，11a，112nnnaaa(*nN)，写出这个数列的前4项，并根据规律，写出这个数列的一个通项公式.62016寒假.高一数学标准课.尖端班班.第4讲数列综合.学生版【例6】已知数列na满足111122nnnnaaaaa，*()nN，求数列na的通项公式．【例7】已知数列na满足112113nnaaa，，求通项na．【例8】根据递推公式写出数列的通项公式：12a，133(2)nnnaan≥．【例9】已知110a，21nnaa，求na。【例10】已知数列na满足112,431,nnaaan*()nN，求数列na的通项公式．72016寒假.高一数学标准课.尖端班班.第4讲数列综合.学生版数列求和【例1】若函数)(xf对任意Rx都有2)1()(xfxf。（1）)1()1()2()1()0(fnnfnfnffan，数列}{na是等差数列吗？是证明你的结论；（2）求数列}1{1nnaa的的前n项和nT。【例2】已知数列)0()12(,,5,3,112aanaan，求前n项和。82016寒假.高一数学标准课.尖端班班.第4讲数列综合.学生版【例3】设等差数列}{na的前n项和22nSn，在数列}{nb中，11b，)(3*1Nnbbnn（Ⅰ）求数列}{na和}{nb的通项公式；（Ⅱ）设nnnbac，求数列}{nc前n项和nT．【例4】已知等比数列{}na中，13,a481a*()nN.（Ⅰ）若{}nb为等差数列，且满足2152,baba，求数列{}nb的通项公式;（Ⅱ）若数列{}nb满足3lognnba,求数列11nnbb的前n项和nT.92016寒假.高一数学标准课.尖端班班.第4讲数列综合.学生版【例5】已知数列na的前n项和，122nnSn。（I）求数列na的通项公式na；（II）记12231111...nnnTaaaaaa，求nT。【例6】求2222121234(1)_________.nn102016寒假.高一数学标准课.尖端班班.第4讲数列综合.学生版【例7】在等比数列}{na中，0(*)nanN，且134aa，13a是2a和4a的等差中项.（I）求数列}{na的通项公式；（II）若数列}{nb满足12lognnnbaa（1,2,3n），求数列}{nb的前n项和nS.1、（2012·大纲全国）已知数列{}na中，11a，前n项和23nnnSa．（1）求2a，3a；（2）求{}na的通项公式．2、（2013·北京大兴一模）已知数列{}na中，12nnaa，11a，数列11{}nnaa的前n项和为1837，则n__________．1、设数列{}na满足211233333nnnaaaaL，aN．（1）求数列{}na的通项；（2）设nnnba，求数列{}na的前n项和nS．112016寒假.高一数学标准课.尖端班班.第4讲数列综合.学生版2、已知数列{}na中1aa，2ap（常数0p），对任意的正整数n，12nnSaaaL，并且1()2nnnaaS．（1）求a的值．（2）试确定数列{}na是否是等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由．3、某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测今年起每年比上一年纯利润减少20万元．今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为1500(1)2n万元（n为正整数）；设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为na万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（需扣除技术改造资金）．（1）求na、nb的表达式；（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润才能超过不进行技术改造的累计纯利润．122016寒假.高一数学标准课.尖端班班.第4讲数列综合.学生版4、已知数列{}na的前n项和为nS，点(,)nSnn在直线11122yx上．数列{}nb满足2120()nnnbbbnN，311b，且其前9项和为153．（1）求数列{}na，{}nb的通项公式．（2）设3(211)(21)nnncab，数列{}nc的前n项和为nT，求使不等式57nkT对一切nN都成立的最大正整数k的值．