特征方程法介绍

第1页共4页特征方程法————攻克递推数列通项公式【内容摘要】用特征方程法求数列通项公式并非竞赛的专利，普通的学生也可以掌握，利用本文的三个定理，可以快捷的求出2008年高考数学（广东卷陕西卷）的数列压轴题的通项公式。【关键词】特征方程递推数列通项公式【正文】2008年高考广东的文科数学和理科数学都是以数列作为压轴题。从得分上看，文科数学的第21题数列题的平均分是0.14分，共有26万多考生得0分，2位考生得满分；理科数学的第21题数列题的平均分是0.71，共有16万多位考生得0分，103位考生得满分。这两个压轴题的关键就是通项公式的求解。这两个题通项公式的求解方法很多，用一般的方法需要很强的构造能力，而用数学竞赛中的特征方程法求解是比较快捷的。而且这个方法，普通学生也可以掌握，只需掌握以下三个定理。一、一阶线性递推数列定理1：已知数列}{na的项满足dcaabann11,其中0,1,ccnN,称方程xcxd为数列}{na的特征方程，设特征方程的根为'x，则（1）当1'ax时，数列}{na为常数数列；（2）当1',{'}nxaax时数列是以c为公比的等比数列。例1．已知数列}{na满足：2311nnaa，41a，求.na解：相应特征方程为132,'4.32xxx则特征根所以数列3{}2na是首项为11123，公比为的等比数列.13111()223nna所以例2．已知数列}{na满足递推关系：1(23),N,nnaain其中i为虚数单位。当1a取何值时，数列}{na是常数数列？解：相应特征方程为,)32(ixx则特征根.536'ix要使}{na为常数数列，则必须.536'1ixa第2页共4页二、二阶线性递推数列定理2：已知数列}{na的项满足nnnqapaa12，12+a=aa=b,nN，，称方程02qpxx，为数列na的特征方程。若12xx，是特征方程的两个根，则（1）当12xx时，数列na的通项为nn12naAxBx，其中A，B由初始值决定；（2）当12xx时，数列na的通项为n1('')naABnx，其中'A，'B由初始值决定。例3．（2008年高考广东卷文科数学第21题）设数列na满足121,2aa，12123nnnaaa(3,4)n，数列nb满足11,(2,3,4,...)nbbn是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有111mmmkbbb（1）求数列na和nb的通项公式；（2）记nnncnab(1,2,)n，求数列nc的前n项和Sn.解：其中数列na的通项公式的求解如下：数列na相应的特征方程为212033xx，特征根为1221,3xx可设nnnBxAxa212()3nAB。又由121,2aa，于是28135492910ABAABB，故8925103nna例题4.（2008年高考广东卷理科数学第21题）．设pq，为实数，，是方程20xpxq的两个实根，数列{}nx满足1xp，22xpq，12nnnxpxqx（34n，，…）．（1）证明：p，q；（2）求数列{}nx的通项公式；（3）若1p，14q，求{}nx的前n项和nS．解：其中数列nx的通项公式的求解如下：数列nx相应的特征方程为20xpxq，特征根为12,xx第3页共4页①当时，可设nnnxAB，由1xp，22xpq，得222()AABABB，11nnnx所以②当时，可设n()nxABn，由1xp，22xpq，得22()11()(2)ABABAB，(1)nnxn所以三、一次分式递推数列定理3：已知数列}{na的项满足：1aa且对于Nn，都有hraqpaannn1（其中p、q、r、hR，且rharqrph1,0,），称方程hrxqpxx为数列na的特征方程.（1）当特征方程有两个相同的特征根时，（i）若,1a则数列}{na为常数数列（ii）若1a，则数列}1{na为等差数列。（2）当特征方程有两个相异的特征根1、2时，则数列}{21nnaa为等比数列。例题5．（2008年高考陕西卷数学第22题）已知数列{}na的首项135a，1321nnnaaa，12n，，．（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的0x，21121(1)3nnaxxx≥，12n，，；（Ⅲ）证明：2121nnaaan．解：其中数列na的通项公式的求解如下：数列na相应的特征方程为321xxx，特征根为121,0第4页共4页所以数列1{}nnaa为等比数列，由1239,511aa，得数列1{}nnaa的首项是29,311公比是，所以112133nnnaa，332nnna解之得可以看出，用特征方程法求特定类型的递推数列的通项公式是非常方便快捷的，对于基础较好的学生，该方法可以是一个很有益的补充。