浅谈分式方程增根与无解教案

浅谈分式方程增根与无解Zhujiang沈石林增根，无解？是不是一回事吗？有的同学说，增根就是无解，无解就是增根。难道增根和无解有区别吗？有联系吗？分式方程的增根，指的是解分式方程时，把分式方程化成整式方程的变形过程中，方程两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围，而产生的未知数的值。分式方程无解，不论未知数为何值，都不能使分式方程两边的值相等，它包含两种情形。（1）原分式方程去分母后得到的整式方程无解，导致原分式方程无解；（2）原分式方程化为整式方程后，有解，但是这个解使原分式方程的分母为零，即是原分式方程的增根，从而原方程无解。例1.解方程:2344222xxxx。解：方程两边同乘：（x+2）（x-2）；得：2（x+2）-4x=3（x-2）；解得x=2；经检验当x=2时，原方程无意义，x=2是增根；所以，原分式方程无解例2.解方程2x2x-32x1-x。步骤：（1）化整式方程（2）解整式方程的根（3）检验根的情况小结：例2这种情况就是整式方程无解，导致原方程无解，由此可见分式方程无解，不一定就是产生增根。例3.当a为何值时，关于x的方程2x34-xax2-x22会产生增根？注意：如果将例3的问题“会产生增根，变成无解”解：方程两边同乘（x+2）；x-1=3-x+2（2+x）整理得：0·X=8，所以此方程无解，所以原分式方程无解。解：方程两边同乘：（x+2）（x-2）得：2（x+2）+ax=3（x-2）；整理得：（a-1）x=-10.①因为a-1≠0，所以a≠1，1-a10-x，若分式方程有增根，则x=2或x=-2,将x=2或x-2代入①，解的a=-4或6.例4.当a为何值时，关于x的方程2x34-xax2-x22会产生无解？解：方程两边同乘：（x+2）（x-2）；得：2（x+2）+ax=3（x-2）整理得（a-1）x=-10①若分式方程无解，则有两种情况：（1）方程①无解导致原方程无解，a-1=0时，即a=1时，0·x=-10，此时原方程无解，则a=1.（2）出现增根导致无解，则x=2或x=-2.代入解的a=-4或6.总结：弄清楚分式方程的增根与无解的区别和联系，分式方程出现无解不一定就是出现增根，还有可能是去分母后整式方程无解，知道这一点后能帮助我们提高解分式方程的正确性，对判定分式方程解的情况有一定的指导意义。作业①：若关于x的方程01-1-x1ax有增根，则a的值为多少？作业②：关于x的分式方程x21-3-xxm2无解，求m的值？指导老师【数学组长---黄德明】