3.引力场中的高斯定理

3.引力场中的高斯定理保守力是物理学中一个非常重要的概念，学过普通物理学的人都知道，所谓保守力是指，质点在力场中运动时，如果作用于质点的力所作的功，只与质点的起始和终了位置有关，而同质点运动的路径无关，则质点所受的力就是保守力或有势力。保守力还可以用另外一种方式来表述，一个质点沿闭合路径运动一周，如果作用于质点的力所作的功等于零，则质点所受的力就是保守力。引力和静电力都是有势力，相应的引力势和静电势都满足三维空间里最简单的二阶（偏微分）方程——拉普拉斯方程。用ψ代表引力势或者静电势场，它在三维空间里所满足的拉普拉斯方程采取如下的形式：（2/x2+2/y2+2/z2）ψ(x,y,z)=0.由于相应的静电力和引力等于势的微分（的负值），它的大小便与半径r成反比了，即ψ（r）∝1/r,F(r)=-dψ/dr∝1/r2由于万有引力定律与Coulomb,slaw本质是一样的，因此引力场中也存在Gauss，theorem，并且与万有引力定律等价。1、预备知识引力场场强：引力场场强是一个向量，其大小等于1千克的质点在该处所受引力的大小，方向与该质点在该处所受引力的方向一致。引力线：如果在引力场中出一些曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点的引力场强方向一致，那么所有这样可以作出的曲线叫做引力线。引力线数密度：在引力场中任一点取一小面元ΔS与该点的场强方向垂直，设穿过ΔS的引力线有ΔN根，则比值ΔN/ΔS叫做该点的引力线数密度，它的意义是通过该点单位垂直截面的引力线根数，规定引力场场强E∝ΔN/ΔS。引力线性质：引力线其自无穷远点，止与该质点，引力线在宇宙中处处存在。一个质点的任何两条引力线不会相交，不形成闭合线。引力通量：通过一面元ΔS的引力通量为该点场强的大小E与ΔS在垂直于场强方向的投影面积ΔS`=ΔScosθ的乘积。2、引力场中的Gauss，theorem通过一个任意闭合曲面S的引力通量φ=4πG∑m，与闭合曲面外的引力质量无关。证明：（1）通过包括质点m的同心球面的引力通量都等于4πGm。以质点m所在处为中心以任意半径r作一球面.根据万有引力定律,在球面上各点场强大小一样E=Gm/r2,场强的方向沿半径向外呈辐射状。在球面上任意取一面元dS，其外法线向量n也是沿着半径方向向外的，即n和E间夹角θ=0，所以通过dS的引力通量为dφ=EcosθdS=EdS=Gm/r2dS,通过整个闭合球面的引力通量为φ=dS=Gm/r2×4πr2=4πGm。（2）通过包围质点的任意闭合曲面S的引力通量都等于4πGm在闭合面S内以质点m所在处O为中心作一任意半径的球面S``，根据（1）通过此球面的引力通量等于4πGm。由于引力场分布的球对称性，这引力通量均匀地分布在4π球面度的立体角内，因此在每个元立体角dΩ内的引力通量是GmdΩ。如果把这个立体角的锥面延长，使它在闭合面S上截出一个面元dS。设dS到质点m的距离为r，dS的法线n与场强E的夹角为θ，则通过dS的引力通量dφ=EcosθdS=Gm/r2cosθdS,cosθdS=dS`是dS在垂直于场强方向的投影面积，所以dφ=EdS`=Gm/r2dS`=GmdΩ。所以通过面元dS的引力通量和通过球面S``上与dS对应的面元dS``的引力通量相等，所以通过整个闭合面S的引力通量都必定和通过球面S``的引力通量一样，等于4πGm。（3）通过不包括质点的任意闭合面S的引力通量恒为0。因为单个质点产生的引力线是辐向的直线，它们在空间连续不断。当质点在闭合面S之外时，从某个面元dS上进入闭合面的引力线必然从另外一个面元dS`上穿出，而这一对面元dS和dS`对质点所张的立体角相等，通过dS的引力通量和通出dS`的引力通量的代数和为0，通过整个闭合面S的引力通量是通过这样一对对面元的引力通量之和，当然也是等于0的。（4）多个质点的引力通量等于它们单独存在时的引力通量的代数和。设物体有m1.m2.m3…mk个质点，其中第1到第n个被高斯面S所包围，第n+1到第k个在高斯面之外，则k个质点同时存在时通过S的引力通量为φ=φ1+φ2+φ3+…+φn+φn+1+…+φk=φ1+φ2+φ3+…+φn=4πG(m1+m2+…+mn)=4πG∑m.证毕。3、引力场中的Gauss，theorem的应用（容晓晖）（1）.单个质点：2041rmgg；（2）.均匀质量球壳：当rR时,0g，当rR时,2041rmgg（相当于质量集中在球壳中心）（3）.均匀质量的实心球体：当rR时，rRmgg3041，当rR时，2041rmgg（相当于质量集中在球体中心）；（4）.无限长的棒：rgg021（表示质量的线密度）；（5）.无限大的平面（一个）：02gg（6）.两个无限大的平行平面：两板之间0g，两板之外0gg（表示质量的面密度）求万有引力场中的引力位，或引力位差（万有引力的位，或称为重力势能位）1.单个质点：rmg041（无限远为零势能点）2.均匀质量球壳：当rR时,Rmg041（无限远为零势能点），当rR时,rmg041（无限远为零势能点）3.均匀质量的实心球体：当rR时，RmgRrRmg0223041)(81，当rR时，rmg041（无限远为零势能点）4.无限长的棒：21012rrln2g（表示质量的线密度）；5.无限大的平面（一个）：)(221012rrg6.两个无限大的平行平面：两板之间202rg内（两板之间为零势能点），两板两（外）边)(21012rrg（表示质量的面密度）附录1：美国物理学家J.B.福斯勒利用2个原子干涉重力仪，找到了测量万有引力常数的新方法，测量精G的精确测量不仅对弄清引力相互作用的性质非常关键，而且对于理论物理学、地球物理、天文学、宇宙学以及精确测量等具有重要的理论与现实意义，但它的精度至今仍不理想。自1798年英国科学家卡文迪许采用精密扭秤获得历史上第一个较为精确的万有引力常数G测量值以来，人们虽经努力，但迄今对G的测量精度仍低于万分之一。因此，万有引力常数G的精确测量作为一个热点和难点为各国科学家所关注，并投入大量人力和物力进行研究。目前测G的方法大致分三大类。地球物理学方法引力效应明显，但实验精度较低；空间测量方法面临着很多新的技术难题，目前仍在探索之中；实验室内测量是目前获得高精度G值的主要方，常用工具是精密扭秤，但其工作艰巨而又困难，实验精度的提高主要受到引力相互作用十分微弱的限制。近年来出现的利用原子干涉测量G的方法，测量精度也不高。美国研究人员为此对原子干涉测量方法进行了改进，他们将2个相同的原子干涉重力仪安装在不同的高度，在两者之间固定了重540千克的铅垂，铅垂对2个重力仪中原子所受的重力影响不同，由于增加铅垂的引力，上面的重力仪所受的重力很容易增加，下面的很容易减少，这样就可以获得仅来自于铅垂引力的差别。由于地球的引力不会影响这种差别，而与所处高度有关的地球引力作用可以通过多次重复实验消除。在这一过程中，铅垂的重量和位置的测定精度很高，因此，从该实验中计算万有引力常数相对容易。研究人员指出，虽然该实验测量G的精度达到了10万分之一，仍比要求的低20倍，但该实验证明这种方法可行。他们已经准备进行新的实验，新实验中对G精度的测量将达到百万分之一。另外，有关专家指出，利用这种方法不仅可用来测量G，还可对在实验室中研究广义相对论有重要意义。