量子力学复习题答案

一、简答题1.束缚态、非束缚态及相应能级的特点。答：束缚态：粒子在一定范围内运动，∞→r时，0→ψ。能级分立。非束缚态：粒子的运动范围没有限制，∞→r时，ψ不趋于0。能级分立。2.简并、简并度。答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简并。把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。3.用球坐标表示，粒子波函数表为()ϕθψ,,r，写出粒子在立体角Ωd中被测到的几率。解：()∫∞Ω=022,,drrrdPϕθψ4.用球坐标表示，粒子波函数表为()ϕθψ,,r，写出粒子在球壳()drrr+,中被测到的几率。解：()ϕϕθψθθππdrddrrP∫∫=20202,,sin5.用球坐标表示，粒子波函数表为()ϕθψ,,r。写出粒子在),(ϕθ方向的立体角中且半径在范围内被测到的几率。Ωdar0解：()∫Ω=adrrrdP022,,ϕθψ6.一粒子的波函数为()()zyxr,,ψψ=K，写出粒子位于dxxx+~间的几率。解：()∫∫+∞∞−+∞∞−=2,,zyxdzdydxPψ7.写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。解：!2,)()(2/22nAxHeAxnnnxnn⋅==−πααψα=,2,1,0,21=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=nnEnω8.写出三维无限深势阱⎩⎨⎧∞=其余区域,0,0,0,0),,(czbyaxzyxV1中粒子的能级和波函数。解：能量本征值和本征波函数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=++222222222cnbnanmEzyxnnnzyxπ=,3,2,1,00,0,0,sinsinsin8),,(=⎪⎩⎪⎨⎧=nczbyaxcznbynaxnabczyxzyxnnnzyx其余区域πππψ9.粒子在一维δ势阱)0()()(−=γδγxxV中运动，波函数为)(xψ，写出)(xψ′的跃变条件。解：)0(2)0()0(2ψγψψ=m−=′−′−+10.何谓几率流密度？写出几率流密度）（trj,KK的表达式。解：单位时间内通过与粒子前进方向垂直的单位面积的几率称为几率流密度。()**2),(ψψψψ∇−∇−=mitrj=K11.写出在zσ表象中的泡利矩阵。解：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1001,00,0110zyxiiσσσ12.电子自旋假设的两个要点。解：（1）电子具有自旋角动量，它在空间任意方向的投影只有两个取值：sK2=±；（2）电子具有自旋磁矩MK，它的回转磁比值为轨道回转磁比值的2倍，即1222===⎟⎠⎞⎜⎝⎛===mcegmcemcegls轨道角动量轨道磁矩为单位取自旋内禀磁矩13.量子力学中，一个力学量Q守恒的条件是什么？用式子表示。解：有两个条件：0],[,0==∂∂HQtQ。14.的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？）（zLL,22解：()zLL,2的共同本征函数是球谐函数),(ϕθlmY。),(),(,),()1(),(22ϕθϕθϕθϕθlmlmzlmlmYmYLYllYL===+=15.写出电子自旋的二本征态和本征值。zs解：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===01)(,221zzssχα=；⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==−=−10)(,221zzssχβ=。16.解：[][][][][][][]xzyzxyzzyzxzypipLiLLxiLyLiLLipzpx=====−===−===,2,0,,,,0,2σσσ17.完全描述电子运动的旋量波函数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=)2/,()2/,(),(=K=KKrrsrzψψψ，准确叙述2)2/,(=Krψ及23)2/,(∫−=Krrdψ分别表示什么样的物理意义。解：()22/,=Krψ表示电子自旋向上（2==zs）、位置在rK处的几率密度；()232/,∫−=Krrdψ表示电子自旋向下（2=−=zs）的几率。18.二电子体系中，总自旋21ssSKKK+=，写出（）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。zSS,2解：（）的归一化本征态记为2,zSSSSMχ，则自旋单态为[]001(1)(2)(1)(2)2χαββα=−自旋三重态为[]111011(1)(2)1(1)(2)(1)(2)2(1)(2)χααχαββαχββ−=⎧⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩19.何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？解：在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为条（偶数）的现象称为反常塞曼效应。原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。)12(+j20.给出一维谐振子升、降算符的对易关系式；粒子数算符与的关系；哈密顿量aa、+Naa、+H用N3或表示的式子；（亦即aa、+NH）的归一化本征态。解：0)(!12121,,1],[nannNaaHaaNaa++++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+===21.二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们的力学量完全集分别是什么？两种表象中各力学量共同的本征态及对应的本征值又是什么？22.使用定态微扰论时，对哈密顿量H有什么样的要求？23.写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。24.何谓光的吸收？何谓光的受激辐射？何谓光的自发辐射？25.给出光学定理的表达式。光学定理的意义何在？26.散射问题中，高能粒子散射和低能粒子散射分别宜采用什么方法处理？解：高能粒子散射宜采用玻恩近似方法处理；低能粒子散射宜采用分波法处理。27.对于阶梯形方势场⎩⎨⎧=axVaxVxV,,)(21，如果（）有限，则定态波函数12VV−)(xψ连续否？其一阶导数)(xψ′连续否？解：定态波函数)(xψ连；其一阶导数)(xψ′也连续。28.量子力学中，体系的任意态)(xψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(xnψ展开：∑=nnnxcx)()(ψψ，写出展开式系数的表达式。nc解：。()dxxxxxcnnn∫==)()()(,)(*ψψψψ29.一个电子运动的旋量波函数为()()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=2,2,,=K=KKrrsrzψψψ，写出表示电子自旋向上、位置在rK处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。解：()22/,=Krψ表示电子自旋向上（2==zs）、位置在rK处的几率密度；()232/,∫−=Krrdψ表示电子自旋向下（2=−=zs）的几率。430.相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态？试举例加以说明。解：相互不对易的力学量可以有共同的本征态。例如：,,xyzLLL相互不对易，但001(,)4Yψθϕπ==就是它们的共同本征态，本征值皆为0。二、计算证明题1.计算下列对易式：(1)?,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡xddx（2）?,2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡xxdd解：(1)-1（2）。x22.一维运动中，哈密顿量)(22xVmpH+=，求[][]?,?,==HpHx解：[]dxdmHx2,==，[])(,xVdxdiHp=−=。3.计算：?)](,ˆ[?)](,ˆ[2==xfpxfpxx解：xxfixfpx∂∂−=)()](,ˆ[=，xxpxxfixxfxfp∂∂−∂∂−=)(2)()](,ˆ[2222==。4.质量为的粒子处于能量为mE的本征态，波函数为2221)(xAxexαψ−=，问粒子在什么样的位势中运动？解：)()(2)(2xxmExVψψ′′⋅+==()22423−2+=ααxmE=5.一电子局限在10-14米的区域中运动。已知电子质量=m9.11×10-31千克，试计算该电子的基态能量（提示：可按长、宽、高均为10-14米的三维无限深势阱计算）。解：JamE8222111108.132−×=⋅==π。6．设粒子处于一维无限深势阱()⎩⎨⎧∞=axxaxxV或0,0,0中，求处于定态()xnψ中的粒子位置x的平均值。5解：2ax=。7.一个谐振子处于基态：,),(2/2/122tixetxωαπαψ−−=求势能2221xmVω=的平均值及动能mpT22=的平均值。⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∫+∞∞−−πdxex2积分公式：解：ωω==41,41==TV。8.质量为的粒子处于长为l的一维盒子中，m⎩⎨⎧∞=lxlxxV0,0,0,在时,粒子波函数为0=t=ψ⎪⎩⎪⎨⎧−lxxlxxlxl,0,00),(305求()tψ的级数表达式和级数系数表示式。解:(),2,1,01215833=+=kkakπ22221+2−33∞0=⋅1+21+21⋅308=∑lmtkikexlkkltx=πππψ)()(sin)(),(9.考虑如下一维波函数0/0)(xxnexxAx−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ψ其中为已知常数。0xnA、、()利用S.eq求位势和能量a)(xVE。对于它们，该波函数为一本征函数（已知当）；0)(,→∞→xVx()该势与轨道角动量为的氢原子态的径向势有何异同?bl解:()a2022mxE=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=xxnxnnmxV0222)1(2)(=()氢原子有效径向势为b6222)1(2)(rllmrerV++−==，22021−2+−=xnnmxmxnxV)()(==10.一个质量为的粒子在势作用下作一维运动。假定它处在m)(xV222Emα==的能量本征态221/422()xxeγαψπ−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，（）求粒子的平均位置；（b）求粒子的平均动量；a（c）求；（）求粒子的动量在)(xVddppp+→间的几率。解：()a0=x(b)0=p()c242()/2Vxxmα==（）粒子的动量在间的几率为ddppp+→2221/22221()()pPpdppdpedpαϕαπ−⎛⎞==⎜⎟⎝⎠==11.一质量为的粒子沿mx正方向以能量E向0=x处)(xV的势阶运动。当时，该势为；当时，该势为0≤x00xE43。→E问在处粒子被反射的的几率多大？0=x0V解：反射系数91==2rR。0X12.若粒子从右边入射，求如图所示一维阶梯势的)(xV反射和透射系数。E←0V解:0X402042122221421221221221212)()()()()()(VEEVkkkkkkkkkkkkkkrR−+=+−=++−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−==反射系数透射系数4020)(11VEEVRT−+−=−=713.设力学量A不显含时间t，证明在束缚定态下，0=tdAd。14.已知厄米算符A、B互相反对易：{}0,=+=BAABBA；b是算符B的本征态：bbbB=，本征值。求在态0≠bb中，算符A的平均值。解：0AbAb==。15.n为的本征态，本征值为。求在的本征态zL=nzLn下，和的平均值。xLyL解：0==yxLL。16.证明：厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。17.在直角坐标系中，证明：0],[2=pLKK，其中LK为角动量算符，pK为动量算符。18.定义径向动量算符⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅+⋅=rrpprrpr1121KKKK，证明：①是厄密算符。rp②还可表为rp⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∂∂−=rripr1=，就此证明[]=iprr=,。19.在一维势箱问题求解中，假定在箱内0)(≠=CxV（为常数），是否对其解产生影响？怎样影响？C解：22222manEn=π=′，axnaxnπψsin2)(=即不影响波函数，能级整体改变：0)(≠=CxVCCmanCEEnn+=+′=22222=π20.一质量为的粒子在一维势箱max0中运动，其量子态为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=axaxaxππψ3sin23sin212)(①该量子态是否为能量算符H的本征态？②对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？③处于该量子态粒子能量的平均值为多少？解：①)(23)(21)(31xxxψψψ+=即粒子处在)(1xψ和)(3xψ的叠加态，该量子态不是能量算符H的本征态。8②能量测量的可能值为2223222129,2aEaEμπμπ====其出现的概率分别为4323,412122=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛③能量测量的平均值为22227aEμπ=21.对于氢