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高等数学教案第七章微分方程教学目的:1.了解微分方程及其解、阶、通解,初始条件和特等概念。2.熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程。4.会用降阶法解下列微分方程:()()nyfx,(,)yfxy和(,)yfyy5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。8.会解欧拉方程,会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。9.会解微分方程组(或方程组)解决一些简单的应用问题。教学重点:1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程()()nyfx,(,)yfxy和(,)yfyy3、二阶常系数齐次线性微分方程;4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程;教学难点:1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程;2、线性微分方程解的性质及解的结构定理;3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。高等数学教案§71微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程例1一曲线通过点(12)且在该曲线上任一点M(xy)处的切线的斜率为2x求这曲线的方程解设所求曲线的方程为yy(x)根据导数的几何意义可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程)xdxdy2(1)此外未知函数yy(x)还应满足下列条件x1时y2简记为y|x12(2)把(1)式两端积分得(称为微分方程的通解)xdxy2即yx2C(3)其中C是任意常数把条件“x1时y2”代入(3)式得212C由此定出C1把C1代入(3)式得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)yx21例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米根据题意反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式4.022dtsd(4)此外未知函数ss(t)还应满足下列条件t0时s020dtdsv简记为s|t0=0s|t0=20(5)高等数学教案把(4)式两端积分一次得14.0Ctdtdsv(6)再积分一次得s02t2C1tC2(7)这里C1C2都是任意常数把条件v|t020代入(6)得20C1把条件s|t00代入(7)得0C2把C1C2的值代入(6)及(7)式得v04t20(8)s02t220t(9)在(8)式中令v0得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020t(s)再把t50代入(9)得到列车在制动阶段行驶的路程s025022050500(m)几个概念微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶x3yx2y4xy3x2y(4)4y10y12y5ysin2xy(n)10一般n阶微分方程F(xyyy(n))0y(n)f(xyyy(n1))微分方程的解满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解确切地说设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数如果在区间I上高等数学教案F[x(x)(x)(n)(x)]0那么函数y(x)就叫做微分方程F(xyyy(n))0在区间I上的解通解如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如xx0时yy0yy0一般写成00yyxx00yyxx特解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题如求微分方程yf(xy)满足初始条件00yyxx的解的问题记为00),(yyyxfyxx积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线例3验证函数xC1cosktC2sinkt是微分方程0222xkdtxd的解解求所给函数的导数ktkCktkCdtdxcossin21)sincos(sincos212221222ktCktCkktCkktCkdtxd将22dtxd及x的表达式代入所给方程得k2(C1cosktC2sinkt)k2(C1cosktC2sinkt)0这表明函数xC1cosktC2sinkt满足方程0222xkdtxd因此所给函数是所给方程的解例4已知函数xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程0222xkdtxd的通解求满足初始条件x|t0Ax|t00的特解高等数学教案解由条件x|t0A及xC1cosktC2sinkt得C1A再由条件x|t00及x(t)kC1sinktkC2coskt得C20把C1、C2的值代入xC1cosktC2sinkt中得xAcoskt作业:P298:4§72可分离变量的微分方程观察与分析1求微分方程y2x的通解为此把方程两边积分得yx2C一般地方程yf(x)的通解为Cdxxfy)((此处积分后不再加任意常数)2求微分方程y2xy2的通解因为y是未知的所以积分dxxy22无法进行方程两边直接积分不能求出通解为求通解可将方程变为xdxdyy212两边积分得Cxy21或Cxy21可以验证函数Cxy21是原方程的通解一般地如果一阶微分方程y(x,y)能写成g(y)dyf(x)dx高等数学教案形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G(y)F(x)C由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式P(xy)dxQ(xy)dy0在这种方程中变量x与y是对称的若把x看作自变量、y看作未知函数则当Q(x,y)0时有),(),(yxQyxPdxdy若把y看作自变量、x看作未知函数则当P(x,y)0时有),(),(yxPyxQdydx可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))的形式就是说能把微分方程写成一端只含y的函数和dy另一端只含x的函数和dx那么原方程就称为可分离变量的微分方程讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程?(1)y2xy是y1dy2xdx(2)3x25xy0是dy(3x25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0不是(4)y1xy2xy2是y(1x)(1y2)(5)y10xy是10ydy10xdx(6)xyyxy不是可分离变量的微分方程的解法第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式第二步两端积分dxxfdyyg)()(设积分后得G(y)F(x)C第三步求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)高等数学教案G(y)F(x)Cy(x)或x(y)都是方程的通解其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解例1求微分方程xydxdy2的通解解此方程为可分离变量方程分离变量后得xdxdyy21两边积分得xdxdyy21即ln|y|x2C1从而2112xCCxeeey因为1Ce仍是任意常数把它记作C便得所给方程的通解2xCey例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比已知t0时铀的含量为M0求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律解铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dtdM由于铀的衰变速度与其含量成正比故得微分方程MdtdM其中(0)是常数前的曲面号表示当t增加时M单调减少即0dtdM由题意初始条件为M|t0M0将方程分离变量得dtMdM两边积分得dtMdM)(即lnMtlnC也即MCet由初始条件得M0Ce0C所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速高等数学教案度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系解设降落伞下落速度为v(t)降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数)根据牛顿第二运动定律Fma得函数v(t)应满足的方程为kvmgdtdvm初始条件为v|t00方程分离变量得mdtkvmgdv两边积分得mdtkvmgdv1)ln(1Cmtkvmgk即tmkCekmgv(keCkC1)将初始条件v|t00代入通解得kmgC于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(tmkekmgv例4求微分方程221xyyxdxdy的通解解方程可化为)1)(1(2yxdxdy分离变量得dxxdyy)1(112两边积分得dxxdyy)1(112即Cxxy221arctan于是原方程的通解为)21tan(2Cxxy高等数学教案作业:P304:1(1)(2)(3)(7)(9)(10),2(2)(4),3§73齐次方程齐次方程如果一阶微分方程),(yxfdxdy中的函数f(x,y)可写成xy的函数即)(),(xyyxf则称这方程为齐次方程下列方程哪些是齐次方程?(1)022xyyyx是齐次方程1)(222xyxydxdyxxyydxdy(2)2211yyx不是齐次方程2211xydxdy(3)(x2y2)dxxydy0是齐次方程xyyxdxdyxyyxdxdy22(4)(2xy4)dx(xy1)dy0不是齐次方程142yxyxdxdy(5)0ch3)ch3sh2(dyxyxdxxyyxyx是齐次方程xyxydxdyxyxxyyxyxdxdyth32ch3ch3sh2齐次方程的解法在齐次方程)(xydxdy中令xyu即yux有)(udxduxu分离变量得xdxuudu)(高等数学教案两端积分得xdxuudu)(求出积分
本文标题:微分方程教案
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