人大附中2020届高三数学4月考试题(word版)

人大附中2019~2020学年度高三4月质量检测试题数学2020年4月13日说明：本试卷共三道大题、22道小题，共4页，满分150分。考试时间120分钟。考生务必按要求将答案答在答题纸上，在试题纸上作答无效。第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上。）（1）集合2{2,},{230}AxxxRBxxx，则ABA.(3,)B.(,1)(3,)C.(2,)D.(2,3)（2）已知复数𝑧=𝑎2𝑖−2𝑎−𝑖是正实数，则实数𝑎的值为A.0B.1C.-1D.±1（3）下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A.2xyB.xysinC.3xxyD.xy2（4）设等差数列na的前n项和为nS，若5,2413aaa，则6S=（）A.10B.9C.8D.7（5）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，将点𝐴(1,2)绕原点𝑂逆时针旋转90°到点𝐵，设直线𝑂𝐵与𝑥轴正半轴所成的最小正角为𝛼，则𝑐𝑜𝑠𝛼等于A.−2√55B.−√55C.√55D.−25（6）设cba,,为非零实数，且cbca,，则（）A.cbaB.2cabC.cba2D.cba211（7）某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则A.SS3222，且B.SS3222，且C.SS3222，且D.SS3222，且（8）已知点(2,0)M，点P在曲线24yx上运动，点F为抛物线的焦点，则21PMPF的最小值为A.3B.51)2（C.45D.4（9）已知函数xxxfsin21sin)(的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（）①绕着x轴上一点旋转180°；②沿x轴正方向平移；③以x轴的某一条垂线为轴作轴对称.A.①③B.③④C.②③D.②④（10）设函数0,lg0,110)(2xxxxxxf若关于x的方程)()(Raaxf有四个实数解)4,3,2,1(ixi，其中4321xxxx，则))((4321xxxx的取值范围是（）A.]101,0(B.]99,0(C.]100,0(D.),0(第二部分（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）（11）在二项式26(2)x的展开式中，8x的系数为。（12）若向量),1(),2,(2xbxa满足3ba，则实数x的取值范围是.（13）在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制。下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处。①。②。（14）函数)42sin()(xxf的最小正周期为；若函数)(xf在区间),0(a上单调递增，则的最大值为.（15）集合{(,),0},{(,)1}AxyxyaaBxyxyxy，若AB是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为①a的值可以为2；②a的值可以为2；③a的值可以为22；三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16.（本小题满分为13分）已知函数()sin()(0,)2fxx满足下列3个条件中的2个条件：①函数()fx的周期为；②6x是函数()fx的对称轴；③()04f且在区间(,)62上单调。（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数()fx的解析式；（Ⅱ）若[0,]3x，求函数()fx的值域。17.（本题满分15分）在四棱锥PABCD的底面ABCD中，//,BCADCDAD，POABCD平面，是的中点，且222POADBCCD（Ⅰ）求证：//ABPOC平面；（Ⅱ）求二面角OPCD的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E，使得ABDE，若存在指出点E的位置，若不存在请说明理由。OADxyOBCDAPO18.（本题满分14分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位:分）统计结果用茎叶图记录如下：（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值.（结论不要求证明）19.（本题满分14分）设函数2()ln(2)fxaxxax，其中𝑎∈𝑹（Ⅰ）若曲线()yfx在点（2，(2)f）处切线的倾斜角为4，求𝑎的值；（Ⅱ）已知导函数𝑓′(𝑥)在区间（1，e）上存在零点，证明:当x∈（1，e）时，2()fxe＞-20.（本小题满分15分）设椭圆22:12xEy，直线1l经过点M（m，0），直线2l经过点N（n，0），直线1l∥直线2l，且直线1l、2l分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点。（Ⅰ）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线1lx⊥轴，求四边形ABCD的面积；（Ⅱ）若直线1l的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证:m+n=0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由。21.（本小题满分14分）对于正整数n，如果()kkN个整数a1，a2，…，ak满足1≤a1≤a2≤…≤ak≤n，且a1+a2+…+ak=n，则称数组（a1，a2，…，ak）为n的一个“正整数分拆”。记a1，a2，…，ak均为偶数的“正整数分拆”的个数为fn；a1，a2，…，ak均为奇数的“正整数分拆”的个数为gn。（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；（Ⅱ）对于给定的整数n（n≥4），设（a1，a2，…，ak）是n的一个“正整数分拆”，且a1=2，求k的最大值；（Ⅲ）对所有的正整数n，证明：𝑓𝑛≤𝑔𝑛；并求出使得等号成立的n的值。（注:对于n的两个“正整数分拆”（a1，a2，…，ak）与（b1，b2，…，bn），当且仅当k=m且a1=b1，a2=b2，…，ak=bm时，称这两个“正整数分拆”是相同的.）