第三讲层次分析法

2013数学建模培训第三讲层次分析法一、引言2020/4/244层次分析法是数学建模竞赛中的常用方法。在数学建模竞赛论文中，时常能看到层次分析法。需要提醒大家注意的是，有些学生没有搞清楚层次分析法的特点、原理、优缺点及局限性，在建模中随意乱用层次分析法。在本讲中，大家首先要搞清楚层2020/4/245次分析法主要用于解决何种问题，知晓层次分析法的基本原理和步骤，然后还要能熟练使用层次分析法软件。大家一定要完整地完成2～3个不同类型的实例，体验层次分析法的过程与结果。下面给出本讲学习大纲，以方便大家学习。2020/4/2461.层次分析法能解决何种问题？2.层次分析法的大致步骤。3.层次分析法通常将决策问题分为哪几个层次，各层次间关系如何？4.如何构造判断矩阵？5.判断矩阵的一致性问题。6.何谓单准则下的排序？7.如何理解求相对权重的特征根法，2020/4/247其理论依据是什么？8.如何进行一致性检验，如何理解一致性指标CI、平均随机一致性指标RI、一致性比例CR？9.何谓层次总排序？10.层次总排序的步骤和原理。11.如何进行层次总排序的一致性检验？2020/4/24812.当一致性检验未通过时，如何对判断矩阵进行调整？13.层次分析法的缺陷及解决办法。14.层次分析法软件的使用。15.层次分析法建模实例。2020/4/249人们在日常活动中，常常会面对一些决策问题。例如，大学生选择职业时，往往会从专业对口、发展潜力、待遇收入等多方面考虑和决策。许多决策问题是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统，很难用通常的数学模型解决。例如，在一群人中挑个子最高的2020/4/2410很容易办到，选最胖者也不难，但要挑选一个最高、最胖且最帅的人就不容易了。此类决策问题的困难主要在于:(1)有的指标不易量化;(2)有些指标相互关联，甚至相互矛盾，导致决策复杂化。2020/4/2411层次分析法(AHP)是美国运筹学家Lsaaty在20世纪70年代初提出的一种定性分析与定量分析相结合的多准则决策方法，简单、实用，特别适用于人的定性判断起重要作用，对决策结果难于直接准确计量的问题。二、层次分析法的原理与步骤2020/4/2413层次分析法的基本思路与人们对复杂问题的决策过程大体一致。当决策者在对问题进行分析时，首先要对分析对象的因素建立起彼此相关的层次递阶结构，这种层次递阶结构可以清晰地反映出诸相关因素(目标、准则、对象)的彼此关系，使得决策者能够把复杂的问题理顺，然后用一定2020/4/2414标度将人的主观判断进行客观量化，在此基础上进行定性和定量分析。层次分析法大致可分为下面四个步骤：(1)建立递阶层次结构；(2)构造比较判断矩阵；(3)单准则排序和一致性检验；(4)层次总排序和一致性检验。三、递阶结构层次的建立2020/4/2416层次分析法首先要把决策问题层次化。所谓层次化就是根据问题的性质以及要达到的目标，将问题分解为不同的因素，并按各因素间的隶属关系和关联程度分组，形成一个不相交的层次。下面通过一个实例来说明构造层次以及层次分析法的决策过程。2020/4/2417例1假设某企业领导要决定一笔资金如何使用。经过调研，现有下列方案可供选择：(1)作为奖金发给职工；(2)扩建宿舍和食堂等福利设施;(3)举办职工进修班；(4)建图书馆、俱乐部等；(5)引进新设备进行技术改造。2020/4/2418从调动职工工作积极性，提高职工文化技术水平和改善职工物质文化生活条件来看，这些方案都有其合理因素。如何使得这笔资金更合理地使用，就是企业领导面临的决策问题。注意在建模实际问题中,如需用层次分析法，则首先要根据问题的特点建立适当的层次。2020/4/2419请大家揣摩本题中构造层次结构的思路与过程。通过分析，上述方案都是为了更好地调动职工工作积极性，提高企业技术水平和改善职工物质文化条件，而最终目的是为了企业进一步发展，增强企业的竞争力。据此，可以建立下列层次结构：2020/4/2420资金使用问题的层次分析结构图资金合理使用Z调动职工积极性C1提高企业技术水平C2改善职工生活水平C3发奖金P1建福利设施P2请职工进修P3建图书馆P4引进新设备P5目标层准则层方案层2020/4/2421也就是说，对于资金使用这个问题来说，模型结构分为三层。最高为目标层，即合理使用资金；中间为准则层，即合理使用资金的三个准则：调动职工积极性，提高企业技术水平和改善职工生活；最下一层为方案层,即可供选择的方案。2020/4/2422建立问题的层次结构是层次分析法中最重要的一步。通常，层次结构分为三层，最高层只有一个元素，即决策者要达到的目标；中间层为衡量目标是否达到的若干判断准则；最低层为备选的具体方案。上一层次的元素对相邻的下一层次的全部或部分元素起支配作用。除2020/4/2423目标层外，每个元素至少受上一层一个元素支配；除方案层外，每个元素至少支配下一层一个元素；同一层次元素不存在支配关系。建立层次结构的关键是能否构造出合理的满足一定支配关系的准则。四、比较判断矩阵的构造2020/4/2425由于在决策者心目中，各准则对目标的影响程度不同，各方案对每个准则的影响程度也不同，所以建立层次结构后的首要任务是确定各准则对目标以及各方案对每个准则的权重。层次分析法确定上述权重的方法是构造准则层和方案层的比较判断矩阵。2020/4/24261.准则层比较判断矩阵的构造下面介绍准则C1,C2,…,Cn对目标Z的权重的确定方法。在复杂问题中，准则的权重很难直接获得且不易定量化。Saaty提出可用对准则两两比较的方法来确定权重，即每次取两个准则Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj对Z的影响之比,全部比较2020/4/2427结果用矩阵A=(aij)表示，称为准则层的比较判断矩阵。显然，aij=1/aij，称A为正互反矩阵。对于如何确定aij的值，Saaty提出用数字1～9及其倒数作为标度。下表中列出了1～9标度的含义：2020/4/2428标度含义1表示两个元素相比，具有同样的重要性。3表示两个元素相比，前者比后者稍重要。5表示两个元素相比，前者比后者明显重要。7表示两个元素相比，前者比后者极其重要。9表示两个元素相比，前者比后者强烈重要。2,4,6,8表示上述相邻判断的中间值。若元素i和元素j的重要性之比为aij，那么元素j与元素i的重要性之比为aji=1/aij。2020/4/2429判断矩阵的确定具有很强的主观性。比如，在例1中，假定企业领导对于资金使用的态度是：首先是提高企业的技术水平，其次是改善职工生活条件，最后是调动职工积极性，则准则层对目标层的比较判断矩阵可以设定为2020/4/2430显然，若Ci和Cj对Z的影响之比为aij，Cj和Ck对Z的影响之比为ajk,则Ci和Ck对Z的影响之比为aik，即正互反矩阵A中元素应满足：aijajk=aik，此CACC123115135133131CCC1232020/4/2431时称A为一致矩阵。单凭经验构造出的比较判断矩阵不一定满足一致性，如例1中的判断矩阵。比较判断矩阵严格满足一致性是极为困难的，层次分析法要求比较判断矩阵按一定程度满足一致性。2020/4/24322.方案层比较判断矩阵的构造类似地可以构造出各方案对每个准则的比较判断矩阵。例如，例1中的各方案对每个准则的比较判断矩阵可以设为2020/4/2433PPPBPP12314512347121325131311221412213171512131PPBPP2324511713157153315113513312020/4/2434构造出判断矩阵后，即可对判断矩阵进行单排序计算。在各层次排序后还要进行各层次总排序，其中还存在着判断矩阵的一致性检验问题。PPBPP1233411331133131311131311五、单准则排序与一致性检验2020/4/24361.单准则下的排序根据比较判断矩阵确定某层各元素对上层某元素相对权重排序的过程称为单准则下的排序。通常有各方案对某准则的权重排序和各准则对目标的权重排序。计算权重的方法有多种，比较成熟的是特征根方法。2020/4/2437特征根方法的理论依据是Perron定理，它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性。Perron定理设n阶方阵A0，为A的模最大特征值，则(1)为正特征值，且对应的特征向量为正向量；(2)对于A的任何其它特征值,maxmax2020/4/2438恒有；(3)为A的单特征值，因而它所对应的特征向量除相差一个常数因子外是唯一的。下面再给出两个定理，这两个定理分别是权重排序原理和一致性检验原理的理论基础。定理1若A为一致矩阵，则maxmax2020/4/2439(1)A必为正互反矩阵；(2)A的任意两行(列)成比例；(3)A的最大特征值，n为A的阶，从而A的其余特征值均为零;(4)若A的最大特征值对应的特征向量为，则，即maxnmax,,,Tn12ijijaww2020/4/2440定理2若A为n阶正互反矩阵，则nnnnnn1111222212122020/4/2441(1)；(2)A为一致矩阵。尽管上述结论的证明并不复杂，有些内容还是考研中的常见内容，如定理1的(2)和(3)，但绝大部分学生理解起来还是比较困难。不过这并没有关系，因为我们只要利用这两个定理得出排序和一致性maxnmaxn2020/4/2442检验的方法即可。根据定理1中的结论(4)，可以得出确定排序向量的下列方法：求出比较判断矩阵A最大特征值的特征向量W，经归一化后即为各准则对目标或各方案对某准则的排序权重向量。可借助软件求特征值特征向量。max2020/4/24432.比较判断矩阵的一致性检验虽然构造比较判断矩阵时，不要求具有严格的一致性，但一个混乱、不一致的比较判断矩阵有可能导致决策的失误，所以我们希望在判断时应大体一致，从而对每一层在做单准则排序时，均需要做一致性检验。根据定理2，且A为一致矩maxn2020/4/2444阵，就这意味着比n大得越多，A的不一致程度就越严重。因此，可以用作为衡量不一致程度的数量指标，CI称为一致性指标。CI其实即为除最大特征值以外的其余特征值的负平均值。maxmaxnCIn1maxn2020/4/2445究竟CI小到什么程度才算达到我们接受的“满意的一致性”呢？Lsaaty按照下列方法给出了衡量是否达到“满意的一致性”的一种数量指标：随机构造500个n阶正互反矩阵，求出其最大特征值的平均值，并计算max2020/4/2446则RI可理解为n阶比较判断矩阵的平均一致性指标，称为平均随机一致性指标。RI的具体数值见下表：maxnRIn1n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.512020/4/2447显然，当CI与RI之比较小时，可以认为A的不一致性程度很小，达到了所谓的“满意的一致性”。称为一致性比例。通常认为,当CR0.1时，判断矩阵的一致性可以接受，否则应对其适当调整。CICRRI六、层次总排序及一致性检验2020/4/24491.层次总排序根据计算同一层次中所有元素对总目标的排序权重向量的过程称为层次总排序。下面通过一个简单的例子来说明这一过程：先将一块石头A分成两大块B1和B2，然后再分别将B1和B2各分为两组:2020/4/2450C1,C2；C3,C4,C5。AB1B2C1C3C4C5C20.250.750.520.480.4670.2610.2722020/4/2451显然，第2层对最高层的排序向量为而第3层对第2层单准则下的排序为().....W305200480004760026