第16讲-最值问题二

第16讲最值问题二内容概述各种类型的复杂最值问题，通常采用枚举，局部调整和极端分析等方法，有些情况下，既要够造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证。典型问题兴趣篇1.用0，1，2，…，9这10个数字各一次组成5个两位数a、b、c、d、e。请问：a-b+c-d+e最大可能是多少？2.将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时，人数最少的那组有多少人？3.有11个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，每组进行单循环比赛，那么他们最少需要比赛多少场？4.我们知道，很多自然数可以表示成两个不同质数的和，例如8=3+5，有的数有几种不同的表示方法，例如100=3+97=11+89=17+83，请问：恰好有两种表示方法的最小数是多少？5.一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？商最小是多少？6.（1）在分母是一位数的最简真分数中，两个补相等的分数最小相差多少？（2）从1至9中选取四个不同的数字填入算式中，使算式的结果小于1，这个结果最大是多少？7.如图16-1，等腰直角三角形ABC中，CA=CB=4厘米，在其中作一个矩形CDEF，矩形CDEF的面积最大可能是多少？图16-1图16-28.如图16-2，从一个长方形的两个角山挖去两个小长形后得到一个八边形。这个八边形的边长恰好为1、2、3、4、5、6、7、8这8个数，它的面积最大可能是多少？9.在4×4的方格表中将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共顶点，请问：最多可以将多少个方格染成黑色？10.古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦。他精通数学、物理，聪慧过人，有一天，一位将军向他请教一个问题：如图16-3，将军从甲地骑马出发，要到河边上马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？甲地乙地河边图16-3拓展篇1.如图16-4所示，用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大可能是多少？2.把14表示成几个自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大，问：这个乘积最大可能是多少？3.从1，2，…，9中选出8个数填入下面算式中的方框中，使得结果尽可能大，并求出这个结果。4.有13个不同的自然数，它们的和是100，其中偶数最多有多少个？最少有多少个？5.将6、7、8、9、10这5个数按任意次序写在一圆周上，将每相邻两数相乘，再把所得的5个乘积相加，请问：所得和数的最小值是多少？最大值是多少？6.有5袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过60，这5袋糖块总共最少有多少块？7.已知算式9984-8-8-…-8的结果是一个各位数字互不相同的数，这个结果最大可能是多少？8.用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一次组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式。9.所有不能表示为两个合数之和的自然数中，最大的一个是多少？10.把1至99依次写成一排，形成一个多位数：12349899，从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数，请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？11.邮递员送信件的街道如图16-5所示，每一小段街道长1千米。如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？邮局B133A图16-5图16-612.如图16-6，有一个长方体形状的柜子，已知蚂蚁要从左下角的A点出发，沿柜子表面爬到右上角的B点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请在图中表示出来。超越篇1.一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键“+”尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且能进行加法运算，为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？2.用1、3、5、7、9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用0、2、4、6、8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ.请问：算式ABC×DE—FGH×IJ的计算结果最大是多少？3.将1、2、3、4、5、6分别填在正方体的6个面上，计算具有公共棱的两个面上的数的乘积，这样的乘积共有12个，这12个乘积的和最大是多少？4.用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式中的差最大是多少？5.有的偶数可以写成两个奇合数之和，例如24=9+15，100=25+75，所有不能表示为两个奇合数之和的偶数中，最大的一个是多少？6.如图16-7，有一个圆锥形沙堆的底面直径BC为2厘米，母线AC的长度为6厘米，请问：（1）如果一只蚂蚁想从B点去C点，最短路线应该怎么走？请设计出一条最短路线（蚂蚁只能在圆锥表面走）；（2）如果一只蚂蚁需要有B点出发到达线段AC上（可以到其上的任意一点），那么最短路线应该怎么走？ABC图16-7图16-87.如图16-8，一个边长为10的正方形四个角剪去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方体，那么所得的长方体容积最大是多少？8.一个5×5的方格表，每个小方格内填有一个数，并且表中的每一行、每一列的数都构成等差数列。已知任取n个方格，只要知道了这些方格的数，就可以把方格表补填完整，那么n的最小值是多少？