常微分方程习题(8)

1一、选择题1．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）n（B）n-1（C）n+1（D）n+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3.方程21ddyxy过点)1,2(共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程xxyxydd（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程yxydd的奇解是（）．（A）xy（B）1y（C）1y（D）0y二、计算题1.x'y=22yx+y2.tgydx-ctydy=03.0dd)2(yxxyx4.1ddxyxy5.0d)ln(d3yxyxxy三、求下列方程的通解或通积分1.)1(dd2yxxyy2.2)(ddxyxyxy23.xyxy2e3dd四．证明1.设)(1xy，)(2xy是方程0)()(yxqyxpy的解，且满足)(01xy=)(02xy=0，0)(1xy，这里)(),(xqxp在),(上连续，),(0x．试证明：存在常数C使得)(2xy=C)(1xy．2．在方程0)()(yxqyxpy中，已知)(xp，)(xq在),(上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切．试卷答案一、选择题1.A2.B3.B4.C5.D二、计算题1．解：将方程改写为'y=21xy+xy（*）令u=xy,得到3'y=x'u+u,则(*)变为xdxdu=u1,变量分离并两边积分得arcsinu=lnu+lnC,故方程的解为arcsinxy=lnCx。2．解：变量分离ctgxdy=tgydx,两边积分得ln(siny)=-lnxcos+C或sinycosx=C(*)另外，由tgy=0或ctgx=0得y=k(k=0、1…)，x=t+2(t=0、1…)也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。3.方程化为xyxy21dd令xuy，则xuxuxydddd，代入上式，得uxux1dd分量变量，积分，通解为1Cxu原方程通解为xCxy24．解齐次方程的通解为Cxy令非齐次方程的特解为xxCy)(代入原方程，确定出CxxCln)(原方程的通解为4Cxy+xxln5．解因为xNxyM1，所以原方程是全微分方程取)0,1(),(00yx，原方程的通积分为Cyyxxyyx031dd即Cyxy441ln三、求下列方程的通解或通积分1．解当1y时，分离变量得xxyyydd12等式两端积分得12dd1Cxxyyy122211ln21Cxy1222e,e1CxCCy方程的通积分为2e12xCy2．解令xuy，则xuxuydd，代入原方程，得2dduuxuxu，2dduxux当0u时，分离变量，再积分，得Cxxuudd2Cxuln1，Cxuln1即通积分为：Cxxyln53．解齐次方程的通解为xCy3e令非齐次方程的特解为xxCy3e)(代入原方程，确定出CxCx5e51)(原方程的通解为xCy3e+x2e51四．证明1.证明设)(1xy，)(2xy是方程的两个解，则它们在),(上有定义，其朗斯基行列式为)()()()()(2121xyxyxyxyxW由已知条件，得0)()(00)()()()()(0201020102010xyxyxyxyxyxyxW故这两个解是线性相关的．由线性相关定义，存在不全为零的常数21，，使得0)()(2211xyxy，),(x由于0)(1xy，可知02．否则，若02，则有0)(11xy，而0)(1xy，则01，这与)(1xy，)(2xy线性相关矛盾．故)()()(11212xCyxyxy2．证明由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是),(．6显然，该方程有零解0)(xy．假设该方程的任一非零解)(1xy在x轴上某点0x处与x轴相切，即有)()(0101xyxy=0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(xy可知),(,0)(1xxy，这是因为零解也满足初值条件)()(0101xyxy=0，于是由解的惟一性，有xxyxy,0)()(1,()．这与)(1xy是非零解矛盾．