第八章--玻色统计和费米统计

第八章玻色统计和费米统计§8.1热力学量的统计表达式§8.2弱简并玻色气体和费米气体§8.3玻色-爱因斯坦凝聚§8.4光子气体§8.5金属中的自由电子气体§8.6白矮星§8.7二维电子气体与量子霍尔效应•课时安排：课内8学时，课外10学时•作业：教材p328-3332：习题8-2，8-3；8-5；8-8；8-11；8-14；8-16；8-18；8-19。§8.1热力学量的统计表达式一、巨配分函数1、分布函数lllllllllleEeNea1,1,1llllllllllleee)1ln(ln)1(,)1(•讨论：1）从数学形式上，这里与粒子数有关的参量无法分离；2）从物理本质看，不是严格的近独立子系；——解决办法：用开放系统表达式（以，，y为参量）2、定义二、热力学量•粒子数：•用ln代替NlnZ以后，一切热力学公式的统计表达式不变，但ln更普适：它可以适用于开放系统lnU•内能：lnN•广义力：yYln1•熵：)lnln(lnkS•粒子的化学势：lnln1kTJ•巨热力势：NpVTSU§8.2弱简并玻色气体和费米气体一、模型：非定域系统、只考虑平动、自旋状态数为g（粒子的内部运动）、不失一般性可考虑非相对论粒子。1、态密度：由第六章习题有dmhVgdD2/33)2(2)(2、粒子数与内能023023302102331)2(21)(1)2(21)(edmhVgedDUedmhVgedDN二、计算与讨论：1、被积函数的展开式从非简并条件判别式（e）的数量级出发1）非简并情形：e1，取零级近似可得M-B统计的结果；2）强简并情形：直接求积分解决3）一级近似：e1，弱减并情形，对N取零级近似而对U取一级近似，可算得关联能)1(11122eeeeeeNkTUghkTmNVeemhVgdeemhVgN23,)2(2)2(2)2(202322/32/12330212332、零级近似•量子关联的性质：起源：全同性原理和泡利原理影响：对F-D气体，关联能为正，排斥作用；对B-E气体，关联能为负，吸引作用。•热波长：与粒子热运动动能为kT对应的德布罗意波长：•关联效应：修正项给出弱简并气体的关联能。关联——粒子间的相互作用量子关联——由于量子力学规律引起的相互作用效果（量子效用）]241[])2(241[302/320gnUmkThgnUU3、一级近似mkThmhphkT223nge§8.3玻色-爱因斯坦凝聚1、粒子数表达式0,01)(leall一、理论分析与温度的关系决定于：Vanll/dmhdDl2/12/33)2(2)(0)(2/12/331)2(2edmhnn在常温下00nnn对所有l计算时常将求和变为积分意味着忽略了基态粒子数n0：])(1[)(2/30CTTnTnTTC时，仍然要有-0，积分的结果将明显小于n，此时必须考虑n0的贡献：n=n0+n02/12/3302/12/331)2(21)2(2xedxxmkThedmhnkT02/12/3302/12/331)2(21)2(2xCedxxmkThedmhnCkT3/223/2)612.2(2nmkTC2/3)(CTTnn3、B-E凝聚：上述结果表明，当TTC时，n0与n同数量级当温度低于临界温度时，有宏观数量级的粒子数在能级=0凝聚的现象，称为B-E凝聚。n0/nT/Tc112、临界温度：n是常数，因此的绝对值随T的降低而变小，设-0时的T=TC0)(2/12/331)2(2edmhn二、B-E凝聚态的性质1、内能：在TTC状态，系统内能来自所有n的贡献：.770.01)2(212/30/2/32/33/)(ckTlkTllTTNkTedmhVeUl2、热容量：.925.12/3cVVTTNkTUCCV/NKT/T03/21•B-E凝聚是发生在动量空间的凝聚。•B-E凝聚是一种连续相变。三、液氦的相变4He是典型的玻色子，计算给出Tc=3.1K实际上在大约2.17K液氦发生相变：在此温度以上为正常流体，在此温度以下变为超流体，在转变点的性质非常类似于BEC.但因为存在分子间的相互作用，所以不是理想玻色气体的BEC。CVT一、平衡辐射的粒子模型1、模型：把电磁辐射看作具有不同的频率与波长光子的集合；辐射场：粒子数可变的、极端相对论的混合理想玻色气体。2、特点：•频率为的辐射：一种光子气体成分；•边界壁的发射与吸收：光子数不恒定，=0，化学势为零；•静止质量为零：=cp；•光的量子性：=h，p=h/；（=2，k=2/）3、状态数：dDdcVhcdVhdppVhddpdpdxdydzgdDddVhl)(842)(__23233232,32§8.4光子气体二、辐射场的热力学函数1)(),(edDdNdTUdU1、普朗克公式与内能decdTu11),(33244334203321511)(aTThckdecTuxm2、维恩位移律.1,1,332233/332xkTexcVTkTxUecVTU.822.2.0,kTxdxTxdUmmkTm822.2BlackBodyRadiation05E+171E+181.5E+182E+182.5E+183E+183.5E+184E+184.5E+18012345PhotonEnergy(eV)EnergyDensity5000600070003、巨配分函数.90161ln81lnln33352033chVdechVellluVp31ln14、光压5、熵.3434lnln3aTTUkS6、辐射通量（）三、普朗克公式的讨论1、在长波极限，过渡到经典统计结果（瑞利-金斯公式）光的波动性起主要作用；2、在短波极限，演变为维恩公式——光的粒子性突出（导出维恩公式的关键假设就是把辐射场看作类似于经典理想气体的系统）。3、从波动角度看普朗克公式：电磁振动能量的量子化。decdTu11),(332四、晶格热振动与与固体热容量1、解决问题的思路：晶格热振动的传播形成固体中的弹性驻波，驻波能量量子化——不同频率、不同运动方向的声子集合——混合理想玻色气体的统计问题2、声子的特点：•频率为的弹性驻波对应两组横声子和一组纵声子，波速分别以ct和cl表征：=h；l=clp；t=ctp•声子频率范围:0≤m;频率总数:3N个3、椐此，可用与前面完全相似的方法求得晶格热振动的内能与热容量。内能：mdehccVUhlt021)12(4热容量：)()1()(330243mDxxDVhkTTedxexTNkCm高温极限——杜隆-柏替定律；低温极限——温度三次方定律D是德拜温度——固体材料的特征温度（对照前面爱因斯坦温度理解）§8.5金属中的自由电子气体一、模型1、作用力的近似处理•离子晶格作用：形成平均势场，约束电子在晶体内；•电子间的排斥力：碰撞2、模型：在平均势场中自由运动的理想费米气体•能量：p2/2m；•热波长：铜，300K，原子量63，密度8.913400)2(2323mkThnn高度简并3、状态数：dmhVdD2/12/33)2(4)(极端相对论情形dchVdD2334)(•粒子数：0)(2/12/331)2(4edmhN0)(2/32/331)2(4edmhU•内能：4、平衡条件：二、基态（T=0）1、分布函数11)(sefs)0(1)0(00sTf1f（0）2、化学势（费米能级、费米面）（（0）=F）3/22202/12/33)3(2)2(4nmdmhVNFF4、内能FFNdmhVU53;53)2(402/32/33•数量级估计：以铜为例F1.110-18J,TF=7.8104K结论：一般情况下，金属中的电子气体高度简并e1;常温下对热容量的贡献可以忽略。5、简并压p=2u/3=2/5*nF3.81010Pa3/12)3(2nmpFFF给出绝对零度时金属中自由电子的最大动能3、费米动量1、分布函数：f1/2f=1/2=f1/22、热容量估计：-0.200.20.40.60.811.200.050.10.150.20.25E(eV)FD(T1)FD(T2)FD(T3)三、激发态（T0）0fkTNkTkTNNeff)0()0(——约相当于经典值的1/260FeffVTTNkkNC23233、T0时的定量计算(p.314_316)•化学势由粒子数平衡条件解出:])(1)[0(2)0(122kT•内能由能量平衡条件计算:])(1)[0(2)0(125532kTNU•热容量:在低温下金属的热容量：CV=AT3+BTTNkCdTdUV)0(222与定性估计只有系数差别；§8.6白矮星p.317_319一、白矮星简介KTmnF933610,101、基本成分：氦2、热力学状态：T≈107K，mw1030kgm0，1010kg*m-3≈1070，N个氦核和2N个电子形成的等离子体态。3、简化模型：氦核背景上高度简并的电子气体，引力作用与电子气体的简并压达到平衡。•氦核具有绝大部分质量，提供万有引力，形成收缩趋势；•电子气体具有极高的数密度，即使以白矮星的温度，也依然是高度简并的二、白矮星的形成条件1、讨论的出发点：球形系统，力学平衡条件)1(4;4,422222RGmpdRRpdEdRRGmdERGmEwwgwg）（）代入（2,3/1133535wwmRRmnp)3(,0133434）代入（2、非相对论情形3、极端相对论情形•随遇平衡；•星体质量越大，形成的白矮星体积越小•只有mw=mw0才能平衡；•mw小于mw0星简并压大于自引力，膨胀；•mw大于mw0星体坍塌，不能形成白矮星；•白矮星质量上限mw0=1.44倍太阳质量§8.7二维电子气体与量子霍尔效应(p.319_327)一、二维电子气dmhdDkkmhmppyxyx222222)(;)(*2*2•样品制备:一个MOSFET,在栅极与半导体Si之间加上适当栅压,则半导体和氧化物的分界面将出现电子导电层.•性质:设z方向束缚运动能级为i,在xy平面内自由运动能量准连续二、量子霍尔效应经典结论:neHHHKBK1量子结果:三、解释•朗道能级:在垂直外磁场中,由于洛伦兹力的作用，电子将作圆周运动22/cmrrmvBevcmicrimr