3.3.3《点到直线距离》课件(经典版)

两点间距离公式xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)Q(x2,y1)O22122121||()()PPxxyy221||||PQyy121||||PQxx问题：点到直线的距离是怎样定义的?xyOP·点到直线的距离的定义：过点作直线的垂线，垂足为点，线段的长度叫做点到直线的距离．PPQQQ·lPllP.oxy:Ax+By+C=0(x0,y0)点到直线的距离QPOyxlQP（x0，y0）l:Ax+By+C=0问题：求点P（x0,y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离？xyP0(x0,y0)O|y0||x0|x0y0【特殊情形1】点到坐标轴的距离00(,)Pxy0点到直线距离【特殊情形2】1yy1,xxxyP0(x0,y0)O|x1-x0||y1-y0|x0y01yyy11xxx100(,)Pxy0oxyPQ·l'l··推导思路1:①求垂线方程②求交点坐标③求两点间的距离求点P0（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。其中A≠0且B≠0此方法思路自然，但运算较为繁琐．【一般情形】0若直线不平行于坐标轴(即A≠0且B≠0),由0AxByC可得它的斜率是,AB直线ＰＱ的方程是00(),ByyxxA即00,BxAyBxAy与0AxByC联立，解得20022,BxAByACxAB20022AxABxbCyAB2200002222(,)BxAByACAxABxbCQABAB22220000002222||()()BxAByACAxABxbCPQxyABAB22220000222222()()()()AAxByCBAxByCABAB0022AxByCAB思路二：间接法xyO0PlQ面积法求出求出求出利用勾股定理求出点到直线的距离||0RP||0SP||RS||0QPSR求出点的坐标R求出点的坐标S思路二：P(x0,y0),l:Ax+By+C=0,设AB≠0,OyxldQPR100,,,,;ABlxypxlRxy这时与轴轴都相交,过作轴的平行线交与点S02,,ylSxy作轴的平行线交与点10020,0AxByCAxByC0012,ByCAxCxyAB00000102,AxByCAxByCxxyyAPRSBP222200ABPRPSAxBCRABSyOyxldQPRS0022AxByCdAB22000000.ABdAxByCABAxByCAxByCAB由三角形面积公式可得：dRSPRPSA=0或B=0，此公式也成立，但当A=0或B=0时一般不用此公式计算距离．注：在使用该公式前，须将直线方程化为一般式．xyoP0(x0,y0)Q.xyoP0(x0,y0)Q..,,0:00000BCByBCyyyPQBCyCBylACByAxlQ时：中的方程当直线.,,0:00000ACAxACxxxPQACxCAxlBCByAxlQ时：中的方程当直线例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0；②3x=2;③2y+3=0的距离。解：①根据点到直线的距离公式，得521210211222d②如图，直线3x=2平行于y轴，Oyxl:3x=2P(-1,2)35)1(32d用公式验证，结果怎样？解：③如图，直线2y+3=0平行于x轴，27)23(2d用公式验证，结果怎样？yOxl:2y+3=0P(-1,2)练习1.求下列点到直线的距离：点到直线的距离为0表示什么？.034:),2,1()3(;033:),0,1()2(;0343:),3,2()1(yxlCyxlByxlA.52432314)3(;013313)2(;5943334)2(3)1(:222222ddd解练习2:求下列点到直线的距离:(1)O(0,0),3x+2y-26=0；(2)A(-2,3),3x+4y+3=0;(3)B(1,0),(4)C(1,-2),4x+3y=0.033yx.52(4)(3)0;;59(2);13(1)2答案:例2已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积．xyo123123-1ABCh.5252221.251140104.04,131313.22)31()13(,,222221ABCABCShyxCyxxyABABhABShAB因此，的距离：到点即边所在的直线方程：则：边上的高为解：设练习2.直线l经过原点，且点M(5,0)到直线l的距离等于3，求l的方程1.动点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值为（）xy432.1.C答案：2A.B.2D.422C.)0,37171()0,1(或22)5(12400512x22)3(1703x371711xx或解：设P(x,0),根据P到l1、l2距离相等，列式为=解得：所以P点坐标为：P在x轴上,P到直线l1:x-y+7=0与直线l2:12x-5y+40=0的距离相等,求P点坐标。33.典型例题4.在抛物线y=4x2上求一点P,使P到直线l:y=4x-5的距离最短,并求出这个最短距离.典型例题解:依题意设P(x,4x2),则P到直线l:4x-y-5=0的距离为174)1(2175441454)1(42002022200-x|xx||xx|d17174.1)21(P210有最小值时点坐标为即当d,x5直线l经过点P（－2，1）,且A（-1，3）到l的距离等于1,求直线l的方程．解：①若l的斜率不存在，则l的方程为：x=-2,显然符合要求。②若l的斜率存在，设为k，则l的方程为：y-1=k(x+2),即：kx-y+2k+1=0由A到l的距离为1得：223211k1kk所以k=43综上所述，所求直线方程为：x=-2，或3x-4y+10=06.练习△ABC中，A(3，3)，B(2，-2)，C(-7，1)，求∠A的平分线AD所在直线的方程。解：由已知可求的AC边所在的直线方程为x-5y+12=0AB边所在的直线方程为5x-y-12=0，设M(x,y)为∠A的平分线AD上任意一点。由角平分线的定义得：2222|x5y12||5xy12|1(5)5(1)ACADABAD1kkk,k55即整理得：y=-x+6或y=x结合图形可知：yx6舍去故∠A的平分线AD所在直线的方程是y=x。小结：1.点到直线距离公式：0022AxByCdAB注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；2.当A=0或B=0(直线与坐标轴垂直)时，仍然可用公式，这说明了特殊与一般的关系.3.3.4《两平行线间的距离》例3：求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。Oyxl2:2x-7y-6=0l1:2x-7y+8=0P(3,0)两平行线间的距离处处相等在l2上任取一点，例如P(3,0)P到l1的距离等于l1与l2的距离5353145314)7(28073222d❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离任意两条平行直线都可以写成如下形式：l1:Ax+By+C1=0l2:Ax+By+C2=0Oyxl2l1PQ1002,lPxyPl在直线上任取一点,过点作直线的垂线,垂足为Q002222AxByCPlAB则点到直线的距离为:PQ10010PlAxByC点在直线上，001AxByC2122CCABPQ思考：任意两条平行线的距离是多少呢？注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为对应相同的形式。（两平行线间的距离公式）例3已知直线l1：2x-7y-8=0，l2：6x-21y-1=0，求直线l1与l2间的距离。解：设l1与x轴的交点为A，A点的坐标为:(4，0)。根据点到直线的距离公式：点A到l2的距离为xyol1l2A(4,0)..2200BACByAxd.5315923,5315923533232161021462122间的距离是与所以lld求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程.2125|6|22md解：由题意设所求直线的方程为则直线l与的距离，化简得|6-m|=26，即6-m=26，6-m=-26，解得m=-20，m=32则所求直线的方程为5x-12y-20=0或5x-12y+32=0故答案为：5x-12y-20=0或5x-12y+32=00125myx0125myx例4、过点（1，2），且与点A（2，3）和B（4，-5）距离相等的直线L的方程。125.:4310:125130.lxylxy例求两直线和　夹角平分线方程（1）点到直线距离公式：，0022AxByCdAB（2）两平行直线间的距离：，2122CCdAB小结：注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理为对应相等的形式。