微积分基本公式与计算

二、定积分的计算一、牛顿–莱布尼茨公式微积分的基本公式第六章与定积分的计算一微积分的基本公式引积分学中要解决两个问题：第一个问题是原函数的求法问题，我们在第5章中已经对它做了讨论；第二个问题就是定积分的计算问题.如果我们要按定积分的定义来计算定积分,将会十分困难.我们知道,不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念.但是,牛顿和莱布尼兹不仅发现而且找到了这两个概念之间存在着的内在联系,提出了“微积分学基本定理”.从而使积分学与微分学一起构成微积分学.Newton-Leibniz公式（微积分基本公式）)()(d)(aFbFxxfba(牛顿-莱布尼茨公式)定理.函数,则微积分基本公式表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量。求定积分的问题转化为求原函数的问题。例1.计算解:xxxarctan1d31213)1arctan(3arctan3ππ127)4π(.)1sincos2(20dxxx解原式20cossin2xxx.23例2.求例3.设,求215102)(xxxxf20)(dxxf解102120)()()(dxxfdxxfdxxf120125xdxdx6例4.计算正弦曲线的面积.解:π0dsinxxAxcos0π1()12Oyxxysinπ不定积分二、定积分的计算换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法2、定积分的分部积分法1、定积分的换元法3、定积分的计算技巧先来看一个例子例13011dxx换元求不定积分令1tx则21xt121tdxdttx2tC21xC故33001211dxxx2dxtdt21、定积分的换元法定理1.设函数单值函数满足:1),],[)(1Ct2)在],[上;)(,)(ba)(t)(t则3011dxx212tdtt令1tx则21xt2dxtdt当x从0连续地增加到3时，t相应地从1连续地增加到2于是3011dxx2122t说明:1)当,即区间换为，时],[定理1仍成立.2)必须注意换元必换限。但计算定积分值时原函数中的新变量不必代回.)(t)(t例2.计算解:令,12xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t∴原式=ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt13;1t且例3：计算2ln01dxex解：令tex1dtttdxtx12)1ln(2200,ln21xtxt102212dttt102)111(2dtt)arctan(2tt)41(2例4：计算21ln11edxxx0121ln1)1(lnexxdxln122e232换元必换限不换元则不换限1520cossin.xxdx解520cossinxxdx520coscosxdx620cos6x.61例5计算注：用凑微分法完成的积分，如果没有引入新的变量，则上下限不必变动。即配元不换限换元必换限不换元则不换限2、定积分的分部积分法定理2.,],[)(,)(1baCxvxu设则ab边积边代限20cos.xxdx例1求原式,cos,uxvx2200[sin]sinxxxdx20cos2x1.2解：1,sinuvx则例2.计算解:原式=12ebbbaaauvdxuvvudx2ln;112uxvxuxvx,cos22cos12xx402cos1xxdx402cos2xxdx2,sec1,tanuxvxuvx¢==¢==40tan21xxxdxtan2140401lncos82x.42ln8例3计算.2cos140xxdx解4201sec2xxdxbbbaaauvdxuvvudx10.xedx例4求解令,xt102ttedt11002[]2ttteedt1022|2.tee则x=t2,dx=2tdt原式=注此题同时使用了换元法和分部积分法.,1,ttutveuve¢==¢==bbbaaauvdxuvvudx例5.计算bbbaaauvdxuvvudx解:原式=xxarcsin021210xxxd1212)1(d)1(212022121xx1221)1(2x021122312arcsin1;11uxvuxvx规律(1)若aaaxxfxxf0d)(2d)(则(2)若0d)(aaxxf则1）偶倍奇零3、定积分的计算技巧特别的，当出现积分区间关于原点对称时，可以先考察被积函数的奇偶性，考虑偶倍奇零规律。121(1tan).xxdx例1求解11211tandxxxdx20原式=2奇函数1321(23).xxxdx例2求解112311(3)(2)xdxxxdx1202(3)xdx原式=13011623.33xx奇函数例8计算下列定积分xdxxxI222sin1cos.1xdxxI222sin1xdxx222sin1cos解xdxx220sin1cos2)]n[arctan(si2x022奇函数220sin21sindxx偶函数xdxxI21.2解xdxxI11xdxx21xdx23210]52[25x12)124(52奇函数2）利用定积分的几何意义——曲边梯形面积若被积函数的图像是规则图形（特别是圆）时，定积分的值就可以用对应的曲边梯形面积得到。计算220aaxdxax22xayo解由定积分的几何意义adxxa022等于圆周的第一象限部分的面积42a例3计算2224xdx--ò解由定积分的几何意义该积分等于半圆面积，即2p=24yx=-o2224xdx--ò-222例4计算.11cos21122dxxxxx解原式1122112dxxx11211cosdxxxx偶函数奇函数1022114dxxx10222)1(1)11(4dxxxx102)11(4dxx102144dxx.4四分之一单位圆的面积内容小结基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限作业P1785(1)(2)(4)(5)(6)(8)(11);P1831(1)(2)(10)(11);2(1)(2);3(1)(6))()(d)(aFbFxxfba牛顿-莱布尼茨公式积分技巧偶倍奇零利用定积分的几何意义2）利用定积分的几何意义——曲边梯形面积若被积函数的图像是规则图形（特别是圆）时，定积分的值就可以用对应的曲边梯形面积得到。例2.计算解:令,sintax则,dcosdttax;0,0tx时当.,2πtax时∴原式=2attad)2cos1(22π02)2sin21(22tta02π2π0ttdcos2且