二项分布与超几何分布1

高中几个重要的随机变量分布列一．超几何分布超几何分布是统计学上一种离散型随机变量的概率分布.它描述了由有限个物件中抽出n个物件,成功抽出指定种类的物件的个数（不归还）的概率分布.我们所使用的人教版教材选修2-3中通过一个例题归纳超几何分布的。我们再复习一下这个例题：例1．在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：(1)取到的次品数X的分布列；(2)至少取到1件次品的概率．解：(1)由于从100件产品中任取3件的结果数为310C，从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的结果数为3595kkCC，那么从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的概率为35953100(),0,1,2,3kkCCPXkkC。所以随机变量X的分布列是X0123P035953100CCC125953100CCC215953100CCC305953100CCC(2)根据随机变量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.13806+0.00588+0.00006=0.14400.超几何分布的概念：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X=k｝发生的概率为(),0,1,2,,knkMNMnNCCPXkkmC,其中min{,}mMn，且,,,,nNMNnMNN．称分布列X01…mP0nMNMnNCCC11nMNMnNCCC…mnmMNMnNCCC为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.关于这个概念我们要掌握：(1)从含有次品的一批产品中不放回地抽出一定数量的样品，则其中所含的次品数X是一个随机变量，它服从超几何分布;(2)当Xk时，概率计算公式(),0,1,2,,knkMNMnNCCPXkkmC二．二项分布：1.独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率()(1)kknknnPkCpp．它是(1)npp展开式的第1k项奎屯王新敞新疆3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件发生的概率是P，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是knkknnqpCkP)(，（k＝0,1,2,…，n，pq1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPnnqpC00111nnqpC…knkknqpC…0qpCnnn由于knkknqpC恰好是二项展开式011100)(qpCqpCqpCqpCpqnnnknkknnnnnn中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数.关于这个概念，我们重点掌握两点：(1)判断：在n次独立重复试验中事件A（在一次试验中发生的概率为p）发生的次数~(,)Bnp;(2)分布列求解：knkknnqpCkP)(，（k＝0,1,2,…，n，pq1）．例2．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，P(ξ=0)=02C(95%)2=0.9025，P(ξ=1)=12C(5%)(95%)=0.095，P(2)=22C(5%)2=0.0025．因此，次品数ξ的概率分布是ξ012P0.90250.0950.0025三．二项分布与超几何分布辨析1.二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．例3.袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为21105，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35XB，．03031464(0)55125PXC∴；12131448(1)55125PXC；21231412(2)55125PXC；3033141(3)55125PXC．因此，X的分布列为X0123P6412548125121251125（2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：03283107(0)15CCPYC；12283107(1)15CCPYC；21283101(2)15CCPYC．因此，Y的分布列为Y012P715715115辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．2.超几何分布与二项分布的区别与联系(1)判断方法：从含有次品的一批产品中不放回地抽出一定数量的样品，则其中所含的次品数是一个随机变量，它服从超几何分布：在一次随机试验中某事件发生的概率为p,在n次独立重复实验中，该事件发生的次数为一个随机变量，它服从以n，p为参数的二项分布，即~(,)Bnp。(2)相同点：超几何分布和二项分布都是离散型随机变量的概率分布不同点：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）联系：当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.........3．综合练习：1.判断各题中随机变量所服从的分布：(1)袋中有3个白球、3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，取到黑球的个数X；(2)袋中有3个白球、3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．不放回抽样时，取到黑球的个数Y；(3)某人定点投篮1次，击中目标的概率是0.8，他连续投篮10次，每次从控球到投篮所花时间t;(4)高二8班同学身高超过175CM的概率为0.4，现从全班60个人中任意选取5名同学，则他们的身高h；(5)依次抛掷5枚不同但质地均匀的硬币，正面向上的次数X；(6)从含12件正品和4件次品的一批产品中有放回地抽取3件产品，则其中所抽到次品的个数服从分布.2．每次试验的成功率为(01)pp，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（）()A33710(1)Cpp()B33310(1)Cpp()C37(1)pp()D73(1)pp3．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（）()A32100.70.3C()B1230.70.3C()C310()D21733103AAA4．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是（）()A33351AA()B211232323355AAAAAA()C331()5()D22112333232()()()()5555CC5．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（）()A23332()55C()B22332()()53C()C33432()()55C()D33421()()33C6．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为．（设每次命中的环数都是自然数）7．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为．8．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为．9．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为31，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率奎屯王新敞新疆10．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率；⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率；⑷至少成活4棵的概率奎屯王新敞新疆11．（1）设在四次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率为8081，试求在一次试验中事件A发生的概率奎屯王新敞新疆（2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为13，求在第n次才击中目标的概率奎屯王新敞新疆12.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12．记事件A=“甲打完3局才能取胜”，记事件B=“甲打完4局才能取胜”，记事件C=“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜奎屯王新敞新疆∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28PAC．②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负奎屯王新敞新疆∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216PBC．③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负奎屯王新敞新疆∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216PCC．(2)事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则DABC，又因为事件A、B、C彼此互斥，故1331()()()()()816162PDPABCPAPBPC．答：按比赛规则甲获胜的概率为12．