第二章可靠性数学基础

2012-12-20第二章可靠性数学基础太原科技大学机械工程学院TaiyuanUniversityofScienceandTechnology2012-12-20可靠性数学基础最主要的是概率统计的内容，大学里作为一门课程专门设置，这里只讲一下可靠性设计中常用的几个术语和分布，其它内容可查阅相关书籍。教学基本内容：可靠性理论中常用的概率统计术语可靠性理论中的常见分布•指数分布•威布尔分布•正态分布•对数正态分布2012-12-20事件的差：事件A发生且事件B不发生（3）事件间的关系事件的和：事件A和事件B至少有一件发生一、可靠性理论中的概率统计术语１、随机事件与事件间的关系（1）随机事件——“不可预言的事件”，在个别试验或观察中呈现出不确定性，而在大量试验或观察中又具有统计规律性的事件。基本事件：最简单的、不能再分的随机事件必然事件：在一定条件下必然要发生的随机事件不可能事件：一定不会发生的随机事件A∪B，Ａ＋Ｂ、ＡＢ——事件Ａ或事件Ｂ发生的事件A∩B，ＡＢ、ＡＢ——事件Ａ与事件Ｂ同时发生的事件Ａ-Ｂ——事件Ａ发生而事件Ｂ不发生的事件（2）样本空间——随机试验所有基本事件组成的集合事件的积：事件A和事件B同时发生2012-12-20事件的互不相容：A事件与B事件不能同时发生A∩B=￠，或称互斥事件2012-12-20２、频率与概率做Ｎ次实验，随机事件Ａ共发生ｎ次，则随机事件Ａ出现的频率为：Nn大量试验中发现随机事件A出现的频率稳定值P是客观存在的，称为随机事件Ａ出现的概率NnPlimN当试验次数Ｎ趋于无穷大时，频率逐渐稳定于某个常数P：概率的特点：2012-12-20３、概率运算法则：1）互补定理2）加法定理2012-12-203）乘法定理2012-12-204、随机变量及其数字特征1）随机变量及其分布函数2012-12-202012-12-20２）数字特征均值(期望)反映随机变量取值集中的位置，常用μ或E(x)表示。定义：dxxxfxE)()(性质：)()(xcEcxE)()()(yExEyxE)()()(yExExyEx、y为任意随机变量x、y为相互独立的随机变量在可靠性设计中，E(x)可表示平均强度、平均应力、平均寿命…在常规设计中引入的物理量，多数就是均值(期望)E(x)。2012-12-20方差衡量随机变量取值的分散程度，用D(x)、σ2表示。定义：dxxfxExxD)())(()(2)(xD——标准差、均方差性质：0)(cD)()(2xDccxD)()()(yDxDyxDx、y为相互独立的随机变量2012-12-20CC是一个无量纲的量，表示了随机变量的相对分散程度。金属材料的变异系数（参考）拉伸强度极限σB0.05拉伸屈服极限σS0.07疲劳极限σ-10.08焊接结构疲劳极限σ-10.10钢材的弹性模量E0.03铸铁的弹性模量E0.04布氏硬度HBS0.05断裂韧性KIC0.07变异系数2012-12-20偏度（SkewnessSk)3332/3)))((()())(())((1xkxExEdxxfxExxDS3333))(3)()((xxkxExExESSk=0对称分布Sk＞0正偏分布Sk＜0负偏分布2012-12-20可靠性理论中的常见分布产品的失效分布是指其失效概率密度函数或累积失效概率函数；它与可靠性特征量有着密切的关系。如已知产品的失效分布函数，则可求出可靠度函数、失效率函数和寿命特征量。即使不知道具体的分布函数，但如果已知失效分布的类型，也可以通过对分布的参数估计求得某些可靠性特征量的估计值。因此，在可靠性理论中，研究产品的失效分布类型是一个十分重要的问题。1.指数分布在可靠性理论中，指数分布是最基本、最常用的分布，适合于失效率入（t）为常数的情况，它不但在电子元器件偶然失效期普遍使用，而且在复杂系统和整机方面以及机械系统可靠性领域也得到使用。2012-12-20(1)失效概率密度函数f(t)失效概率密度函数f(t)的图形如图所示2012-12-20(2)累积失效概率函数F(t)累积失效概率函数F(t)的图形如图所示：2012-12-20(3)可靠度函数R(t)可靠度函数R(t)的图形如图所示：2012-12-20(4)失效率函数λ(t)失效率函数λ(t)的图形如图所示：2012-12-20(5)平均寿命θ因此，当产品寿命服从指数分布时，其平均寿命θ与失效率λ互为倒数。(6)可靠寿命Tr给定可靠度r时，根据可靠寿命公式可靠寿命有：2012-12-20(7)中位寿命T0.5将r＝0.5代入式得：2012-12-20（8）数学期望和方差代入代入数学期望即为平均寿命2012-12-20基础11-例关于指数分布的讨论{()()}PTttTt│相关公式：上述推导表明，若产品的寿命服从指数分布，则表明该产品是“永远年轻”的。()1tFTtetttee（）（）{()()}{()}PTttTtPTt{()}{()}PTttPTt()te{()}PTt()()tRtePTtP(AB)=P(B)P(A│B)=P(A)P(B│A)因为乘法定律：条件概率：2012-12-202.威布尔分布威布尔分布在可靠性理论中是适用范围较广的一种分布。它能全面地描述浴盆失效率曲线的各个阶段。当威布尔分布中的参数不同时，它可以蜕化为指数分布、瑞利分布和正态分布。大量实践说明，凡是因为某一局部失效或故障所引起的全局机能停止运行的元件、器件、设备、系统等的寿命服从威布尔分布；特别在研究金属材料的疲劳寿命，如疲劳失效、轴承失效都服从威布尔分布。(1)失效概率密度函数f(t)2012-12-20失效概率密度函数f(t)的图形如图所示：2012-12-20(2)累积失效概率函数F(t)2012-12-20(3)可靠度函数R(t)2012-12-20(4)失效率函数)()(tRtf2012-12-20(5)当m=2时，f（t）曲线为瑞利分布。2012-12-202012-12-20(6)可靠寿命Tr给定可靠度r时，根据可靠寿命公式有：2012-12-20（8）数学期望和方差(7)中位寿命T0.5式中：Γ(●)为Gamma函数，01)(dyeyxyx0.3682012-12-203.两参数威布尔分布把三参数威布尔所有公式中的位置参数去掉就变成两参数威布尔分布了，这里不再重复。2012-12-204.正态分布（1）失效概率密度函数f(t)2012-12-202012-12-202012-12-20（2）累积失效概率函数F(t)2012-12-20（3）可靠度函数R(t)2012-12-20（4）失效率函数λ(t)2012-12-20(5)可靠寿命Tr给定可靠度r时，根据可靠寿命公式有：（7）数学期望和方差(6)中位寿命T0.5()1-()RtFt11-rt11-0.5t2012-12-205.对数正态分布（1）失效概率密度函数f(t)2012-12-20（2）累积失效概率函数F(t)2012-12-20（3）可靠度函数F(t)2012-12-20（4）失效率函数λ(t)2012-12-20(5)可靠寿命Tr给定可靠度r时，根据可靠寿命公式有：（7）数学期望和方差(6)中位寿命T0.511-rte11-rtee2012-12-20谢谢