1-2矩阵的转置

4251300110010101011010001010010111§1.2矩阵的转置Page2定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.AAA例,854221A;825241TA,618B.618TB１、转置矩阵Page32、转置矩阵的运算性质1;TTAA2;TTTABAB3;TTAAP4.TTTABBA1212(5)()TnnaaaaaaPage4性质4的证明AsnBnm：设是矩阵，是证明矩阵，()()TABijABji的行列元素的行列元素1njkkikab()()AjBi的行的列()TTTABBA与是同型矩阵，而且TTBAms故为矩阵，TTBmnAns为矩阵，为矩阵，()TABsmABms则是矩阵，为矩阵；Page5()()TTTTBAijBiAj的行列元素的行的列().TTTABBA于是1(1,2,,;1,2,,)njkkikabimjsLL12121(,,,)jnjiinikijkkjnaabbbbaaLM()()TTBiAj的列的行性质4的推广1221()TTTTrrAAAAAA有限个矩阵乘积的转置LLPage6例1.已知,102324171,231102BA.TAB求解法1102324171231102AB,1013173140.1031314170TABPage7解法2TTTABAB213012131027241.1031314170Page83、对称阵定义设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称阵.AnTAAn,,,j,iaajiij21A.A为对称阵例如6010861612TAAA.如果则矩阵称为的反对称对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明Page9例2.证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.nA分析ABC设，,TBB假设其中,TCC,TTABC则将上面两式代入，可得,TTTABCABC对两边取转置，可得2TTAAB上面两式相加，可得，2TAAB取转置，得。.2TAAC同理可得证明略。Page10例3.设列矩阵满足12TnXxxxL(1),TXX.,,2,EHHHXXEHnETT且阵是对称矩证明阶单位矩阵为证明TTTXXEH2TTTXXE2,2HXXET.是对称矩阵H2HHHT22TXXETTTXXXXXXE44TTTXXXXXXE44TTXXXXE44.E结合律Page113()300.ijTTAaAAAAA设为一个阶实矩阵，若，证明：为对称矩例阵且4()(),TTTTTTTAAAAAAAA证明：故为对称矩阵；111213112131212223122232313233132333,TaaaaaaBAAaaaaaaaaaaaa设112233(,1,2,3)ijijijijbaaaaaaij则，特别地，iiBb的主对角线上的元素是实数的平方和，及2221230(1,2,3).0iiiiibaaaiA再由题设知，000.iliiAabB至少有一个元素，则，于是Page12注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵010111100121001113例121111113