高中数学必修五第一章《解三角形》知识点

高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+bc;a-bc3、三角形中的基本关系：sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABCsincos,cossin,tancot222222ABCABCABC4、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC．5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sinaR，2sinbR，2sincRC；②化边为角：sin2aR，sin2bR，sin2cCR；③::sin:sin:sinabcC；④sinsinsinsinsinsinabcabcCC．6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac．=2R2sinAsinBsinC=Rabc4=2)(cbar=))()((cpbpapp8、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC．9、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab．10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角）11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式。设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若222abc，则90C；②若222abc，则90C；③若222abc，则90C．12、三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点第一章解三角形单元测试一选择题：1.已知△ABC中，30A，105C，8b，则等于（）A4B42C43D452.△ABC中，45B，60C，1c，则最短边的边长等于（）A63B62C12D323.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为()A90°B120°C135°D150°4.△ABC中，coscoscosabcABC，则△ABC一定是（）A直角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形5.△ABC中，60B，2bac，则△ABC一定是（）A锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形6.△ABC中，∠A=60°,a=6,b=4,那么满足条件的△ABC()A有一个解B有两个解C无解D不能确定7.△ABC中，8b，83c，163ABCS，则A等于（）A30B60C30或150D60或1208.△ABC中，若60A，3a，则sinsinsinabcABC等于（）A2B12C3D329.△ABC中，:1:2AB，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，则cosA（）A13B12C34D010.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D由增加的长度决定11在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（）3400米33400米C.2003米米12海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()A.10海里B.5海里C.56海里D.53海里二、填空题：13.在△ABC中，如果sin:sin:sin2:3:4ABC，那么cosC等于。14.在△ABC中，已知503b，150c，30B，则边长a。15.在钝角△ABC中，已知1a，2b，则最大边c的取值范围是。16.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为。三、解答题：17（本题10分）在△ABC中，已知边c=10,又知cos4cos3AbBa，求边a、b的长。18（本题12分）在△ABC中，已知2abc，2sinsinsinABC，试判断△ABC的形状。19（本题12分）在锐角三角形中，边a、b是方程x2－23x+2=0的两根，角A、B满足：2sin(A+B)－3=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。20（本题12分）在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）第一章解三角形单元测试参考答案一、选择题BABDDCCACAC二、填空题（44）131414、1003或50315、53c16、403三、解答题15、（本题8分）解：由coscosAbBa，sinBsinAba,可得cossincossinABBA，变形为sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B,又∵a≠b,∴2A=π－2B,∴A+B=2.∴△ABC为直角三角形.由a2+b2=102和43ba，解得a=6,b=8。16、（本题8分）解：由正弦定理2sinsinsinabcRABC得：sin2aAR，sin2bBR，sin2cCR。所以由2sinsinsinABC可得：2()222abcRRR，即：2abc。又已知2abc，所以224()abc，所以24()bcbc，即2()0bc，因而bc。故由2abc得：22abbb，ab。所以abc，△ABC为等边三角形。17、（本题9分）解：由2sin(A+B)－3=0，得sin(A+B)=32,∵△ABC为锐角三角形∴A+B=120°,C=60°,又∵a、b是方程x2－23x+2=0的两根，∴a+b=23,∴c=6,1sin2ABCSabC=12×2×32=32。a·b=2,∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,∴c=6,1sin2ABCSabC=12×2×32=32。18、（本题9分）解：设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t，球速为v，则∠AOB＝15°，OB＝vt，4vABt。在△AOB中，由正弦定理，得sinsin15OBABOAB，62sinsin1562/44OBvtOABABvt而2(62)843841.741，即sin∠OAB1,∴这样的∠OAB不存在，因此，游击手不能接着球.