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1二次根式知识点一:二次根式的概念形如()的式子叫做二次根式。注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。知识点二:取值范围1、二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。2、二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。知识点三:二次根式()的非负性()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。注:因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。知识点四:二次根式()的性质()文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。2注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,.知识点五:二次根式的性质文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注:1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即;2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六:与的异同点1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的,,而2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而.知识点七:二次根式的乘除1、乘法a·b=ab(a≥0,b≥0)反过来:ab=a·b(a≥0,b≥0)32、除法ab=ab(a≥0,b0)反过来,ab=ab(a≥0,b0)(思考:b的取值与a相同吗?为什么?不相同,因为b在分母,所以不能为0)3、最简二次根式应满足的条件:(1)被开方数不含分母或分母中不含二次根式;(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式(熟记20以内数的平方;因数或因式间是乘积的关系,当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式,然后再观察各个因式的指数是否是2(或2的倍数),若是则说明含有能开方的因式,则不满足条件,就不是最简二次根式)4、化简最简二次根式的方法:(1)把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式,即分解因式;(2)化去根号内的分母(或分母中的根号),即分母有理化;(3)将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来.(此步需要特别注意的是:开到根号外的时候要带绝对值,注意符号问题)5、有理化因式:一般常见的互为有理化因式有如下几类:①与;②与;③与;④与.说明:利用有理化因式的特点可以将分母有理化.6、同类二次根式:被开方数相同的(最简)二次根式叫同类二次根式。判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。如与知识点八:二次根式的加减1、二次根式的加减法:先把各个二次根式化为最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)进行合并。(合并方法为:将系数相加减,二次根式部分不变),不能合并的直接抄下来。2、二次根式的混合运算:先计算括号内,再乘方(开方),再乘除,再加减3、二次根式的比较:(1)若,则有;(2)若,则有.8184(3)将两个根式都平方,比较平方后的大小,对应平方前的大小勾股定理知识点一:勾股定理的概念勾股定理:直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即:222cba。常见勾股数:3、4、5;6、8、10;5、12、13;8、15、17;7、24、25。(这个一定要牢记于心)考点一:勾股定理的直接应用例1.正方形的面积是2,它的对角线长为()A、1B、2C、2D、22例2.如图,由Rt△ABC的三边向外作正方形,若最大正方形的边长为8cm,则正方形M与正方形N的面积之和为2_____cm考点二:求第三条边的长例1.若RtABC中,90C且c=37,a=12,则b=()A、50B、35C、34D、26例2.已知两线段的长为6cm和8cm,当第三条线段取时,这三条线段能组成一个直角三角形。(提示:所给的两条变长不一定都为直角边。)例3.若一个直角三角形的三边分别为a、b、c,22144,25ab,则2c()5A、169B、119C、169或119D、13或25考点三:与高、面积有关例1.两个直角边分别是3和4的直角三角形斜边上的高是例2.等腰三角形的底边为10cm,周长为36cm,则它的面积是2_____cm知识点二:勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足222cba,那么这个三角形是直角三角形。判断步骤:(1)比较a、b、c大小,找最长边;(2)计算两条短边的平方和,看是否与最长边的平方相等。考点:判定一个三角形是否为直角三角形例1.木工师傅要做一个长方形桌面,做好后量得长为80cm,宽为60cm,对角线为100cm,则这个桌面。(填“合格”或“不合格”)例2.试判断:三边长分别是)(2,,2222baabbaba的三角形是不是直角三角形?平行四边形及特殊的平行四边形知识点一:四边形的内角和与外角和定理:(1)四边形的内角和等于360°;(2)四边形的外角和等于360°.知识点二:多边形的内角和与外角和定理:(1)n边形的内角和等于(n-2)180°;(2)任意多边形的外角和等于360°.ABCD1234ABCD6知识点三:平行四边形的性质及判定:1.性质:因为四边形ABCD是平行四边形.54321)邻角互补()对角线互相平分;()两组对角分别相等;()两组对边分别相等;()两组对边分别平行;(2.判定:是平行四边形)对角线互相平分()一组对边平行且相等()两组对角分别相等()两组对边分别相等()两组对边分别平行(ABCD54321.知识点四:矩形的性质及判定:性质:因为四边形ABCD是矩形.3;2;1)对角线相等()四个角都是直角(有通性)具有平行四边形的所(判定:边形)对角线相等的平行四()三个角都是直角(一个直角)平行四边形(321四边形ABCD是矩形.知识点五:菱形的性质及判定:性质:因为四边形ABCD是菱形.321角)对角线垂直且平分对()四个边都相等;(有通性;)具有平行四边形的所(ABDOCABDOCADBCADBCOADBCADBCOCDBAO7判定:边形)对角线垂直的平行四()四个边都相等(一组邻边等)平行四边形(321四边形ABCD是菱形.知识点六:正方形的性质及判定性质:因为四边形ABCD是正方形.321分对角)对角线相等垂直且平(角都是直角;)四个边都相等,四个(有通性;)具有平行四边形的所((1)(2)(3)判定:一组邻边等矩形)(一个直角)菱形(一个直角一组邻边等)平行四边形(321四边形ABCD是正方形.CDABABCDOCDBAOCDAB8一次函数知识点一:一次函数的意义一般地,形如(k,b是常数,且k≠0)的函数,叫做一次函数,其中x是自变量。当b=0时,一次函数y=kx,又叫做正比例函数。(1)一次函数的解析式的形式是,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式。(2)当b=0,k≠0时,y=kx仍是一次函数。(3)当k=0,b≠0时,它不是一次函数。(4)正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数。知识点二:一次函数及性质一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数。当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。注:一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取任意实数一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-b/k,0)两点的一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到。(当b0时,向上平移;当b0时,向下平移)(1)解析式:y=kx+b(k、b是常数,k≠0)(2)必过点:(0,b)和(-b/k,0)9(3)走向:直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限(4)增减性:k0,y随x的增大而增大;k0,y随x增大而减小。(5)倾斜度:|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴。(6)图像的平移:当b0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位;当b0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位。10知识点四:一次函数y=kx+b的图象的画法根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可。一般情况下:是先选取它与两坐标轴的交点:(0,b),(-b/k,0),即横坐标或纵坐标为0的点。知识点五:正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b0时,向上平移;当b0时,向下平移)。11知识点六:正比例函数和一次函数及性质知识点七:直线()与()的位置关系(1)两直线平行且12(2)两直线相交(3)两直线重合且(4)两直线垂直知识点八:用待定系数法确定函数解析式的一般步骤:(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程;(3)解方程得出未知系数的值;(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。一次函数与方程、不等式的关系知识点一:一次函数与一元一次方程的关系一般的一元一次方程0kxb的解就是一次函数ykxb的图象与x轴交点的横坐标。知识点二:直线与坐标轴的交点坐标的求法:(1)直线ykxb与y轴交点的横坐标是0,当x=0时,一次函数ykxb的函数值13yb,b就是交点的纵坐标,即直线ykxb与y轴的交点为(0,b);(2)直线ykxb与x轴交点的纵坐标是0,故令y=0,得到方程0kxb,解方程得bxk,bk就是直线ykxb与x轴交点的横坐标,即直线ykxb与x轴的交点为(,0)bk.知识点三:一次函数与一元一次不等式的关系:(1)一般的,一元一次不等式0(0)kxbkxb或的解集,就是使一次函数y=kx+b的函数值大于0(或小于0)时自变量x的取值范围。(2)从图象上看,一元一次不等式0kxb的解集是直线y=kx+b位于x轴上方的部分所对应的自变量x的取值范围;一元一次不等式0kxb的解集是直线y=kx+b位于x轴下方的部分所对应的自变量x的取值范围;知识点四:一次函数与二元一次方程的关系:(1)一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kxyb的一组解;(2)以二元一次方程kxyb的解为坐标的点都在一次函数ykxb的图象上(3)对于同一个数学模型y=kx+bk0,若将其中的x、y看做变量,则它表示一个一次函数;若将x、y看做未知数,则它就是一个二元一次方程,二者本质相同知识点五:一次函数与二元一次方程组的关系:两条直线1l:11ykxb10k,2l:22ykxb20k的交点坐标就是关于x、y的方程组1122ykxbykxb的解1.用图象法解方程组:画出二元一次方程组中的两个一次函数的图象,找出他们的交点,该交点坐标就是二元一次方程组的解。2.二元一次方程组的解的情况与对应的两条直线的位
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